В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида
где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома:
Свойства
Выразимость интеграла в элементарных функциях
Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях: — целое число. Используется подстановка , — общий знаменатель дробей и ; — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби . — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .
Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией
Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:
где , а также через гипергеометрическую функцию:
Примеры Интеграл
не выражается в элементарных функциях, здесь , и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.
В то же время интеграл , как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь , и , то есть является целым числом.
История
Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году.
См. также Список интегралов элементарных функций
Примечания
Ссылки
Tables of indefinite integrals.
Категория:Математический анализ Категория:Интегральное исчисление