Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) имеется единственная метрическая связность без кручения, называемая связностью Леви-Чивиты данной метрики. Здесь метрическая (или риманова) связность — это связность, сохраняющая метрический тензор.
Формулировка Основная теорема римановой геометрии. Пусть (M, g) — риманово многообразие (или псевдориманово многообразие). Тогда существует единственная аффинная связность ∇, удовлетворяющая следующим условиям:
для любых векторных полей X, Y, Z выполняется
где означает производную функции вдоль векторного поля X. для любых векторных полей X, Y
где [ X, Y ] означает скобку Ли векторных полей X, Y.
Первое условие означает, что метрический тензор сохраняется при параллельном переносе, а второе условие выражает тот факт, что кручение связности равно нулю.
Обобщение фундаментальной теоремы утверждает, что и на псевдоримановом многообразии существует единственная связность, сохраняющая метрический тензор с любой заданной векторнозначной 2-формой в качестве его кручения.
Доказательство Следующее техническое доказательство представляет собой формулу символов Кристоффеля связности в локальной системе координат. Для конкретной метрики эта система уравнений может стать достаточно сложной. Существуют более быстрые и простые методы получения символов Кристоффеля для конкретной метрики — например, с использованием интеграла действия и связанных с ним уравнений Эйлера-Лагранжа.
Пусть m — размерность многообразия M. В некоторой локальной карте рассмотрим стандартные координатные векторные поля
.
Локально элемент gij метрического тензора имеет вид
.
Чтобы задать связность, достаточно для всех i, j и k определить
.
Напомним, что локально связность задается m 3 гладкими функциями
,
где
.
Условие отсутствия кручения означает, что
.
С другой стороны, совместимость с римановой метрикой записывается как
.
Для фиксированных i, j и k перестановки дают 3 уравнения с 6 неизвестными. Предположение об отсутствии кручения сокращает количество переменных до трёх. Полученная системы из трёх линейных уравнений имеет единственное решение
.
Это первое тождество Кристоффеля.
Далее, заметим, что
,
где мы используем соглашение Эйнштейна, то есть парные верхний и нижний индекс означают, что происходит суммирование по всем значениям этого индекса. Обращением метрического тензора получаем второе тождество Кристоффеля:
.
Полученная связность и является связностью Леви-Чевиты.
Формула Кошуля Альтернативное доказательство основной теоремы римановой геометрии состоит в том, чтобы показать, что метрическая связность без кручения на римановом многообразии M обязательно задается формулой Кошуля:
,
где векторное поле действует естественным образом на гладких функциях на римановом многообразии по формуле .
Предположим, что связность удовлетворяет условиям симметричности
и совместимости с метрикой
.
Тогда сумму можно упростить, что и приводит к формуле Кошуля.
При этом выражение для однозначно определяет , и напротив, формулу Кошуля можно использовать для задания , каковым способом обычно и проверяют, что связность является симметричной и согласованной с метрикой g.
Примечания
Литература
Категория:Связность (математика) Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Теоремы дифференциальной геометрии Категория:Основные теоремы