Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.
Формулировка теоремы
Набросок доказательства
Построим на графике ступенчатые фигуры как показано на рисунке. Площадь большей фигуры равна . Площадь меньшей фигуры равна . Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна Получаем Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.
Полное доказательство монотонна на , следовательно существует.
, следовательно
.Отсюда, если сходится, то
.Поэтому ограничена. А так как она неубывающая, то она сходится.
Если расходится, то есть , то
значит ряд расходится.
Теорема доказана.
Примеры ("эталонные" ряды) Обобщённый гармонический ряд сходится при и расходится при , так как
(случай ),
при ,
при . сходится при и расходится при . Для обоснования нужно рассмотреть . На основе сравнения с этими рядами основаны признаки Раабе, Гаусса, Бертрана и некоторые другие. Серию "эталонных" рядов можно продолжить, и на их основе построить семейство все более тонких признаков для медленно сходящихся рядов.
Оценка остатка ряда Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения
с помощью несложных преобразований получаем: .
См. также Признак Абеля Признак сходимости д’Аламбера Радикальный признак Коши Интеграл Коши
Категория:Признаки сходимости