Индекс особой точки векторного поля — математическое понятие, относящееся к дифференциальной топологии, дифференциальной геометрии, теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений. Является топологической характеристикой изолированной особой точки векторного поля и определяется как степень гауссова отображения в данной точке.
Определение Пусть векторное поле задано в окрестности точки , являющейся изолированной особой точкой этого поля, то есть и при этом при всех из достаточно малой окрестности точки . Индексом особой точки (обозначается ) называется степень гауссова отображения -мерной сферы с центром достаточно малого радиуса , выбранной так, что поле на ней не обращается в нуль, в сферу . Именно, гауссово отображение определено по формуле:
Свойства и примеры Особая точка векторного поля называется невырожденной, если в ней выполнено условие
Невырожденная особая точка всегда является изолированной, и её индекс равен знаку определителя .
Собственные значения приведённой выше матрицы (матрицы линейной части поля в данной точке) называются корнями невырожденной особой точки. Для градиентных полей индекс невырожденный особой точки совпадает со знаком гессиана: , где — количество отрицательных квадратов в каноническом представлении квадратичной формы .
В двумерном евклидовом пространстве индекс невырожденных особых точек, образующих центр (все корни — мнимые), узел (все корни — вещественные одного знака), фокус (корни комплексно сопряжены) — равен , для седловых точек (вещественные корни разных знаков) — индекс равен .
См. также Индекс критической точки Теорема Пуанкаре о векторном поле Теорема о причёсывании ежа
Литература Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Любое издание.
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
Примечания
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Динамические системы