Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.
История Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли.Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237.
Определение
Флагом n-мерного многогранника называется набор его граней , где есть -мерная грань многогранника Р, причем для .
Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник , у которого для любых двух его флагов и найдётся движение , переводящее в .
Классификация
Размерность 4 Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):
НазваниеИзображение(диаграмма Шлегеля)СимволШлефлиЯчейкаЧислоячеекЧислогранейЧислорёберЧисловершинПятиячейник{3,3,3}правильныйтетраэдр510105Тессеракт{4,3,3}куб8243216Шестнадцатиячейник{3,3,4}правильныйтетраэдр1632248Двадцатичетырёхячейник{3,4,3}октаэдр24969624Стодвадцатиячейник{5,3,3}додекаэдр1207201200600Шестисотячейник{3,3,5}правильныйтетраэдр6001200720120
Размерности 5 и выше В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):
НазваниеСимвол Шлефлиn-мерныйправильный симплекс{3;3;...;3;3}n-мерныйгиперкуб{4;3;...;3;3}n-мерныйгипероктаэдр{3;3;...;3;4}
Геометрические свойства
Углы Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли , определяется по формуле:
где — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника
Радиусы, объёмы Радиус вписанной N-мерной сферы:
где — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.
Объём N-мерного многогранника:
где — объём (N-1)-мерной грани, — количество (N-1)-мерных граней.
Замощения
В размерности n = 4
Двадцатичетырёхячейниковые соты
В размерности n ≥ 5 Гиперкубические соты
См. также Платоново тело Список правильных многогранников и соединений
Примечания
Ссылки Наглядный пример на YouTube
Категория:Многогранники Категория:Многомерная евклидова геометрия