Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Обычно оператор производной/интеграла дробного порядка обозначается следующим образом:
Определения Три наиболее употребительных формулы: Дифферинтеграл Римана — Лиувилля Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.
где . Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова
Интегро-дифференцирование Вейля Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.
Определения через преобразования Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как :
В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:
Поэтому,
что сводится к
При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном , дифференцирование заменяется умножением
Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно , получаем
Основные свойства Линейность:
Правило нуля:
Дробное интегро-дифференцирование произведения:
Полугрупповое свойство:
в общем случае не выполняетсясм. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006..
Некоторые важные формулы
См. также Дифференциальный оператор Дробная производная Дробная динамика
Примечания
Литература
Ссылки Fractional Calculus and Applied Analysis (1998—2014) и Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015) Progress in Fractional Differentiation and Applications Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
Категория:Математический анализ Категория:Дробное исчисление