Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных аксиомах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которую изменил Николай Иванович Лобачевский.
Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом:
На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.
В геометрии Лобачевского вместо неё принимается следующая аксиома:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
Геометрия Лобачевского описывает пространство Лобачевского, имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что была показана возможность неевклидовой геометрии и это дало толчок в развитии геометрии, математики и науки в целом.
Предпринимались попытки обобщить разные виды геометрии. Абсолютная геометрия объединяет постулаты Евклида и Лобачевского, но конфликтует с геометрией Римана (в которых любые две прямые пересекаются). Аксиоматика Гильберта непротиворечиво охватывает разные варианты геометрии.
История
Попытки доказательства пятого постулата Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида — аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида.
Среди многих пытавшихся доказать пятый постулат были, в частности, следующие крупные учёные. Древнегреческие математики Птолемей (II в.) и Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными). Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X — начало XI вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию). Иранские математики Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения). Первую в Европе известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в Провансе (Франция) Герсонид (он же Леви бен Гершом, XIV век). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника. Немецкий математик Клавиус (1574)Clavius C. Euclidis Elementorum, libri XV. — Romae, 1574.. Итальянские математики Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвящённую вопросу о параллельных). Борелли (1658)Borelli G. A. Euclidus Restitutus. — Pisa, 1658.. Английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура). Французский математик Лежандр (1800) (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства). При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили (явно или неявно) некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным.
Были предприняты попытки использовать доказательство от противного: итальянский математик Саккери (1733) (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным), немецкий математик Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) (проведя исследования, он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).
Наконец, стало возникать понимание того, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате: немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825); немецкий математик Карл Фридрих Гаусс.
Создание неевклидовой геометрии Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что пятый постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова.
Чуть позже и независимо к тем же выводам пришёл Янош Бойяи; он опубликовал свои исследования как приложение к книге своего отца. Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше (см. его письмо к Тауринусу, 1824 год). Однако Гаусс воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Молчание Гаусса часто объясняют тем, что он боялся быть непонятым. Действительно, в одном письме, где затрагивается вопрос о пятом постулате и неевклидовой геометрии, Гаусс пишет: «бойтесь крика беотийцев». Другое объяснение состоит в том, что он один из немногих понимал, что, как бы много интересных теорем неевклидовой геометрии ни было выведено, это ещё ничего не доказывает — всегда теоретически остаётся возможность, что в качестве дальнейших следствий будет получено противоречивое утверждение. Возможно Гаусс понимал (или чувствовал), что в то время (первая половина XIX в.) ещё не найдены математические понятия, позволяющие точно поставить и решить этот вопросШафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII, пар. 2, — Физматлит, Москва, 2009.. Ещё одно объяснение: хотя Гаусс понимал геометрию Лобачевского лучше остальных, он не рассматривал её как своё детище, так как узнал о ней из писем от Швайкарта, Тауруса и других.
В письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так отозвался о работе Лобачевского:
Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет её «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждениеОб основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956, С.119—120..
В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист новой геометрии.
Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как возможную и полезную теорию пространственных отношений.
Утверждение геометрии Лобачевского Лобачевский умер в 1856 году. Спустя несколько лет была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам Лобачевского. Появляются переводы их на французский и итальянский языки, комментарии видных геометров. Переиздаётся и труд Бойяи.
В 1868 году выходит статья Бельтрами об интерпретациях геометрии Лобачевского. Бельтрами определил метрику плоскости Лобачевского и доказал, что она имеет всюду постоянную отрицательную кривизнуEugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.. Такая поверхность тогда уже была известна — это псевдосфера Миндинга. Бельтрами сделал вывод, что локально плоскость Лобачевского изометрична участку псевдосферы (см. ниже). В этой же статье, Бельтрами также приводит две модели, которые теперь называются модель Клейна и модель Пуанкаре.
В этих работах Бельтрами дал прозрачное геометрическое доказательство непротиворечивости новой геометрии, точнее того что геометрия Лобачевского противоречива тогда и только тогда, когда противоречива геометрия Евклида. Лобачевский также располагал таким доказательством, но оно было сложнее, в одну сторону модель евклидовой плоскости в геометрии Лобачевского, оно строилось с помощью модели, как и у БельтрамиLobachevsky, N. I., Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin: F. Fincke, 1840; 30, в другую сторону шло аналитически.
Вейерштрасс посвящает геометрии Лобачевского специальный семинар в Берлинском университете (1870). Казанское физико-математическое общество организует издание полного собрания сочинений Лобачевского, а в 1893 году столетие русского математика отмечается в международном масштабе.
Модели Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.
Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель. Он также заметил, что орисфера в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Бельтрами и других.
Псевдосфера
Итальянский математик Эудженио Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера. Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.
Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского. Поверхность Дини даёт похожую модель — это изометрическое погружение области плоскости Лобачевского, ограниченной орициклом.
Проективная модель
Модель плоскости Лобачевского, впервые предложенная Бельтрами.
Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку , не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых») (например, , ).
В этой модели расстояние между точками и на хорде определяется через двойное отношение
Во внешней абсолюта, реализуется геометрия пространства анти-де Ситтера.
Конформно-евклидова модель, модель Пуанкаре
Другая модель плоскости Лобачевского, предложенная Бельтрами.
За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.
Модель на гиперболоиде в пространстве Минковского В пространстве сигнатуры рассмотрим двуполостный гиперболоид . Выберем верхнюю из компонент .