Логари́фм числа по основанию (от — «отношение» + — «число»Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.) определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: «логарифм по основанию ».
Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения . Например, , потому что .
Вычисление логарифма называется логарифми́рованием. Числа и чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов.
Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке..
Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.
Со временем выяснилось, что логарифмическая функция незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются три типа вещественных логарифмов: с основанием (десятичный логарифм); с основанием, равным числу Эйлера e (натуральный логарифм); с основанием (двоичный логарифм).
Целую часть логарифма называют характеристикой, а дробную — мантиссой. Например у характеристика есть , а мантисса — .
Вещественный логарифм Логарифм вещественного числа по определению есть решение уравнения . Случай интереса не представляет, поскольку тогда при это уравнение не имеет решения, а при любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном ; кроме того, значение показательной функции всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного . Окончательно получаем:
Вещественный логарифм имеет смысл при
Как известно, показательная функция (при выполнении указанных условий для ) существует, монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числаАлгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа всегда существует и определено однозначно.
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов: Натуральные: или , основание: число Эйлера (); Десятичные: или , основание: число ; Двоичные: или , основание: . Они применяются, например, в теории информации, информатике, во многих разделах дискретной математики.
Свойства
Основное логарифмическое тождество Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождествоАлгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.:
Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений: если , то , откуда, согласно основному тождеству, .
Логарифмы единицы и числа, равного основанию Два равенства, очевидных из определения логарифма:
Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны: Формула ПримерДоказательство Произведение Частное от деления Степень Степень в основании Корень Корень в основании Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:
Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей: (логарифм произведения положительных множителей по данному основанию равен сумме логарифмов множителей по тому же основанию)
Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму: найти в таблицах логарифмы чисел ; сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения ; по логарифму произведения найти в таблицах само произведение. Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.
Замена основания логарифма Логарифм по основанию можно преобразовать в логарифм по другому основанию :
Следствие (при ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:
См. пример такой перестановки в разделе десятичный логарифм.
Коэффициент в формуле замены основания называется модулем перехода от одного основания к другому.
Неравенства Значение логарифма положительно тогда и только тогда, когда числа лежат по одну сторону от единицы (то есть либо оба больше единицы, либо оба меньше единицы, но не равны нулю). Если же лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.
Любое неравенство для положительных чисел можно логарифмировать. При этом, если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.
Другие тождества и свойства Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество: где — вещественные числа, Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание на по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:
Ещё одно полезное тождество:
Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию совпадают (равны ), а тогда, согласно следствию из основного логарифмического тождества, левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию , получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:
Логарифмическая функция
Основные характеристики Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию . Она определена при . Область значений: . Эта кривая часто называется логарифмикой. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.
Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок). Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.
Функция является строго возрастающей при (см. далее графики) и строго убывающей при . График любой логарифмической функции проходит через точку . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.
Ось ординат () является вертикальной асимптотой, поскольку: при ; при .
Производная логарифмической функции равна:
С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения:
Натуральный логарифм
Из приведённой выше общей формулы производной для натурального логарифма получаем особенно простой результат:
По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.
Проинтегрировав формулу для производной в интервале от до , мы получаем:
Другими словами, натуральный логарифм равен площади под гиперболой для указанного интервала x.
Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:
В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции :
Разложение в ряд и вычисление натурального логарифма Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы:
Этот ряд, называемый «рядом Меркатора», сходится при . В частности:
Формула непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:
Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа , ибо тогда по абсолютной величине меньше единицы. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы.
Десятичный логарифм
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Они обладают преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа легко определить: Если , то на 1 меньше числа цифр в целой части числа . Например, сразу очевидно, что находится в промежутке . Если , то ближайшее к целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, находится в интервале . Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на . Например, . Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от до .
Связь с натуральным логарифмом:
Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.
Предельные соотношения Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами:
Другие свойства Из теоремы Гельфонда следует, что если — алгебраические числа (), то либо рационален, либо трансцендентен. При этом логарифм рационален и равен только в том случае, p. 10., когда числа связаны соотношением . Сумма (частичная сумма гармонического ряда) при больших ведёт себя как , где — постоянная Эйлера — Маскерони.
Комплексный логарифм
Определение и свойства Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначается и определяется как решение уравнения (другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже).