Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях — утверждение из теории функций комплексной переменной и теории аналитических функций. Формулируется следующим образом:
Если целая функция комплексных переменных ограничена, то есть то есть константаА.В. Бицадзе. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1969. Стр. 132-133..
Это утверждение, по-видимому, впервые было опубликовано в 1844 году Коши для случая . Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.
Доказательство (для одномерного случая) Пусть целая функция комплексного переменного ограничена на всей комплексной плоскости, то есть
Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной :
где — окружность радиуса , содержащая точку , или .
Имеем
Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для окружности любого радиуса, имеем
,
а значит и, следовательно, является константой. Теорема доказана.
Обобщения Если ― целая функция в , и для некоторого
то есть многочлен по переменным степени не выше . Если ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве ,
то есть гармонический многочлен по переменным.
Примечания
Литература
Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях Категория:Комплексный анализ