Липшицево отображение (липшицевское отображение, также -липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в раз, где называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.

Определение Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется липшицевым, если найдётся такая константа (константа Липшица этого отображения), что при любых . Это условие называют условием Липшица. Отображение с (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Липшицево отображение называется билипшицевым, если у него существует обратное , которое также является липшицевым.

Отображение называется колипшицевым, если существует константа такая, что для любых и найдётся такое, что .

История

Отображения со свойством:

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при , а при — условием Гёльдера.

Свойства Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

(Лемма о липшицевости) Непрерывно дифференцируемая функция на компактном подмножестве евклидова пространства удовлетворяет условию Липшица. Обратное утверждение не верно.

Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.

Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое -липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до -липшицевского отображения на всё пространство.

Вариации и обобщения

Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию . Показатель Гёльдера

Примечания

Литература

Категория:Метрическая геометрия Категория:Математический анализ Категория:Структуры на многообразиях Категория:Типы функций