Окру́жность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки, лежащей в той же плоскости, что и кривая: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называют также длину этого отрезка. Окружность разбивает плоскость на две части — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю. Внутренность окружности называется кругом; граничные точки (то есть саму окружность), в зависимости от подхода, круг может включать или не включать.
Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.
Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
Далее всюду буква обозначает радиус окружности.
Хорды, дуги и касательные
Хорды и дуги
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром; тот же термин используется для его длины. Диаметр вдвое больше радиуса: он делит окружность на две равные части и поэтому является её осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды.
Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга. Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга (см. рисунки).
Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Для заданной окружности имеют место следующие свойства. Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Обратно, если две хорды равны по длине, то они одинаково удалены от центра. Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.
Взаимное расположение прямой и окружности
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют одну общую точку, которая называется точкой касания. Такая прямая называется касательной к окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведённому в точке касания. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности.
Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность в двух точках и называется секущей.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то окружность и прямая не имеют точек пересечения.
Углы
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол — угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают эту окружность. Говорят, что центральный или вписанный углы опираются на дугу, высекаемую на окружности их лучами, или же на хорду, стягивающую эту дугу.
Центральный угол может быть принят как угловая мера дуги, на которую он опирается. Центральный угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, в математике принимается в качестве единицы измерения углов, и называется радиан.
Из определения радиана следует, что длина любой дуги окружности связана с центральным углом , опирающимся на эту дугу, простым соотношением: при этом длина хорды, стягивающей ту же дугу, равна Поскольку длина окружности равна , с ростом угла значение его радианной меры меняется от 0 до
Внешний угол для вписанного угла — угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (угол θ коричневого цвета на рис.). Внешний угол для вписанного угла равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны.
Угол между окружностью и прямой — угол между секущей прямой и одной из двух касательных к окружности в точке пересечения прямой и окружности.
Свойства вписанных углов: Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности, всегда прямой (равен 90°). Вписанный угол не меняет своей величины при перемещении его вершины вдоль окружности. Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Другие свойства: Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле, и дуги напротив неё. Угол между касательной и хордой, имеющими общую точку, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой хордой.
Свойства Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
Теорема о секущих: Если через произвольную точку проведена секущая, то произведение расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью не зависит от выбора секущей (и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности). Если точка лежит вне окружности, то из неё к окружности можно провести касательную. Квадрат длины отрезка касательной до точки касания будет равен той же величине. Как частный случай предыдущего, при пересечении двух хорд в произвольной точке получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рисунок), то есть .
Формулы
Длина окружности:
Радиус окружности:
Диаметр окружности:
Площадь круга радиуса R:
Площадь сектора, ограниченного центральным углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:
Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности, центральным углом α, хордой:
История Окружность, наряду с прямой, является самой распространённой кривой практически во всех областях человеческой деятельности. История её исследования и применения уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Античные учёные рассматривали прямые и окружности как единственный пример «совершенных» кривых, поэтому в геометрии считались допустимыми только построения с помощью циркуля и линейки, а движение планет моделировалось как наложение вращений по окружностям. Теории окружностей посвящена III книга «Начал» Евклида.
Также в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру (число π) одно и то же для всех окружностей. Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему «квадратуры круга». В дальнейшем развитие теории окружностей привело к созданию тригонометрии, теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.
Аналитическая геометрия окружностей С точки зрения аналитической геометрии, окружность является простой плоской алгебраической кривой второго порядка. Окружность является частным случаем эллипса, у которого полуоси равны, и поэтому окружность относится к коническим сечениям.
Декартовы координаты
Общее уравнение окружности записывается как:
или
где
Точка — центр окружности, — её радиус.
Уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:
Уравнение окружности, проходящей через точки не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):
Тогда в явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:
Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:
В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:
Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:
Полярные координаты Окружность радиуса с центром в точке :
Если полярные координаты центра окружности то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:
Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид
Подерные координаты Окружность радиуса с центром в полюсе:
Комплексная плоскость На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:
или в параметрическом виде
В частном случае, когда начало координат лежит на окружности: .
Если окружность единичная, то соответственно:
.
Окружности в пространстве В пространстве окружность радиуса с центром в точке можно определить как контур диаметрального сечения сферы
плоскостью , где — параметры, не равные одновременно нулю; то есть все точки, лежащие на данной окружности, есть решения системы
Например, когда и не равны нулю одновременно, решения этой системы можно задать параметрически следующим образом:
Ось окружности в пространстве — перпендикуляр, восстановленный к плоскости окружности в её центре.
Касательные и нормали Уравнение касательной к окружности в точке определяется уравнением
Уравнение нормали в той же точке можно записать как
Концентрические окружности
Окружности с общим центром, но разными радиусами, называются концентрическими. Две окружности, заданные уравнениями:
являются концентрическими в том и только в том случае, когда и
Дополнительные сведения
Определение треугольников для одной окружности
Треугольник ABC называется вписанным в окружность (A,B,C), если все три его вершины A, B и C лежат на этой окружности. При этом окружность называется описанной окружностью треугольника ABC (См. Описанная окружность). Касательная к окружности, проведённая через любую вершину вписанного в неё треугольника, антипараллельна стороне треугольника, противоположной данной вершине. Треугольник ABC называется описанным около окружности (A',B',C'), если все три его стороны AB, BC и CA касаются этой окружности в некоторых точках соответственно C' , A' и B' . При этом окружность называется вписанной окружностью треугольника ABC (См. Вписанная окружность). Треугольник ABC называется внеописанным для окружности (A',B',C'), если все 3 его стороны AB, BC и CA касаются этой окружности в некоторых точках соответственно C' , A' и B' , а именно: одной из 2 сторон касается непосредственно, а также продолжений 2 других сторон за пределы треугольника. При этом окружность называется вневписанной окружностью треугольника ABC (См. Вневписанная окружность).
Варианты определения окружности
Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом (Определение через угол, опирающийся на диаметр окружности). Окружность с хордой AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под постоянным углом с одной стороны, равным вписанному углу дуги AB, и под другим постоянным углом с другой стороны, равным 180 градусов минус вписанный угол дуги AB, указанный выше (Определение через вписанный угол). Фигура состоящая из таких точек что отношение длин отрезков AX и BX постоянно: является окружностью (Определение через окружность Аполлония). Фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками, также является окружностью (Определение через теорему Пифагора для произвольного прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, с гипотенузой, являющейся диаметром окружности). Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Если через произвольную точку E внутри неё провести любые хорды AB, CD, GF и т. д., тогда справедливы равенства: (см. рис.). Равенства всегда будут выполняться независимо от выбора точки E и направлений проведённых через неё хорд (Определение через пересекающиеся хорды).