Локсодрома, или локсодромия (от  — «косой», «наклонный» и  — «путь»Исторический словарь галлицизмов русского языка. — М.: Словарное издательство ЭТС. Николай Иванович Епишкин. 2010) — кривая на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под постоянным углом, называемым локсодромическим путевым углом.

История Введена в рассмотрение португальским математиком Нониусом в 1529 годуШаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. III, n. 39..

В труде «Tiphys batavus» (1624) нидерландский математик Виллеброрд Снелл пересекающую все меридианы под постоянным углом кривую назвал «локсодромой», исследовал её. Работа состояла из двух частей — теоретической и практических упражнений с рекомендациями.

В геодезии и картографии На поверхности Земли локсодромами являются все параллели (путевой угол может быть равен 90°, 270° и т. д.) и все меридианы (путевой угол 0°, 180° и т. д.). Локсодромы под остальными углами являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам. Тем не менее, если путешественник будет двигаться по любой локсодроме (кроме параллелей) с постоянной скоростью не останавливаясь, то он обязательно придёт к одному из полюсов за конечное время. Картографическая проекция, в которой все локсодромы изображены прямыми, называется проекцией Меркатора.

В навигации Если передвигаться с фиксированным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или геоид, то траектория движения объекта и будет локсодромиейЭто нетрудно доказать, используя определения путевого угла и определение локсодромии.. Локсодрома не является кратчайшим путём между двумя пунктами (исключение — меридианы и экватор). Тем не менее, в старину суда и путешественники нередко двигались по локсодромам, так как идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компаса мореплаватели перешли на движение по «магнитным локсодромам», то есть по линиям с постоянным углом к магнитному северу, что дало возможность продолжать движение и в облачную погоду. Но как только были выяснены магнитные склонения во всех местах Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Даже в XX веке локсодромия использовалась при расчёте требуемого курса при прокладке маршрута самолётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с достаточной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла, начали активно применять ортодромию (кратчайший путь), особенно для дальних маршрутов самолётовДля экономии топлива и сокращения времени в пути..

Построение локсодромы сферы

Для того чтобы на полётных картах проложить локсодромический путь, необходимо соединить конечные точки маршрута прямой линией и измерить путевой угол у среднего меридиана. Точнее, локсодромический путевой угол рассчитывается как средний угол, снятый у начальной и конечной точек маршрута. После этого полученный путевой угол строят последовательно у всех меридианов на карте, начиная от пункта вылета. Полученная при построении ломаная линия практически близко подходит к локсодромии. Более точно локсодромический путевой угол может быть вычислен по формуле:

,

где  — искомый путевой угол; и  — широты пунктов вылета и прибытия; и  — долготы этих пунктов;  — средняя широта перелёта.

Пример. Определить истинный локсодромический путевой угол при полёте из г. Реймса в г. Потсдам.

Решение. Определяем координаты:  — Реймса  — Потсдама средняя широта ; . Следовательно, , .

Полученный результат будет правильным, если конечная точка маршрута лежит в первой четверти (0 — 90°). Если конечная точка лежит во второй четверти (90° — 180°), искомый путевой угол получают, вычитая полученное число градусов из 180°. Если же конечная точка находится в третьей четверти (180° — 270°), к полученному углу прибавляют 180°, а если в четвёртой четверти (270° — 360°), то полученный угол вычитают из 360°.

Длина локсодромии в км определяется по формулам:

а) Для углов , близких к 0° или 180°, км, где и  — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в минутах, или км, где и выражены в градусах.

б) Для углов , близких к 90° или 270°, км. Разность между длинами локсодромии и ортодромии DS достигает своей максимальной величины при полёте вдоль параллели.

Так, например, длина локсодромии между Реймсом и Потсдамом из предыдущего примера может быть приближённо вычислена по формуле: км.

Формулы в декартовых координатах Параметрические формулы, задающие локсодрому с путевым углом на сфере радиуса в декартовой системе координат, имеют вид:

где параметр изменяется от 0 до и является долготой точки. Здесь и  — гиперболические косинус и тангенс.

См. также Ортодрома Картография Морская навигация Воздушная навигация

Примечания

Ссылки

Онлайн калькулятор: Путевой угол и расстояние между двумя точками по локсодроме (линии румба)

Категория:Кривые Категория:Спирали Категория:Картография