Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий. Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком . Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.
Если интервал конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.
Несобственные интегралы I рода
Пусть определена и непрерывна на интервале и . Тогда: Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.
Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.
Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
, где с — произвольное число.
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Примеры
Несобственные интегралы II рода
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке и . Тогда: Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при и . Тогда: Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.
Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
Геометрический смысл несобственных интегралов II рода Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.
Пример
Отдельный случай Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .
Тогда можно найти несобственный интеграл
Критерий Коши 1. Пусть определена на множестве от и . Тогда сходится 2. Пусть определена на и . Тогда сходится
Абсолютная сходимость Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
Условная сходимость Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится.
См. также Интеграл Римана Интеграл Лебега Метод Самокиша — численный метод для вычисления интегралов с особенностями.
Литература
Категория:Интегральное исчисление