Игра Пенни — нетранзитивный парадокс, найденный .
Описание Описание парадокса впервые было опубликовано в октябре 1969 года в журнале «Journal of Recreational Mathematics». Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру — сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б — тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней — 100 — совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2. То есть нет «самой сильной» тройки, для любой тройки найдётся более «сильная», которая выигрывает у неё с вероятностью, большей половины. Шансы на выигрыш у игрока Б в худшем случае равны 2/3. Если от троек перейти к четвёркам исходов, то шансы игрока Б на выигрыш станут ещё выше.
Мартин Гарднер по этому поводу пишет: Ситуация эта малоизвестна, и большинство математиков просто не могут поверить в неё, когда слышат об открытии Пенни. Это — заведомо самое красивое надувательство (если надувательство может быть красивым), рассчитанное на простака.
В следующей таблице приведены вероятности выигрыша игрока Б с тройками исходов. {| class="wikitable" style="text-align: center" |- ! !000 ||001||010||011||100||101||110||111 |- !000 | ||1/2||2/5||2/5||1/8||5/12||3/10||1/2 |- !001 |1/2|| ||2/3||2/3||1/4||5/8||1/2||7/10 |- !010 |3/5||1/3|| ||1/2||1/2||1/2||3/8||7/12 |- !011 |3/5||1/3||1/2|| ||1/2||1/2||3/4||7/8 |- !100 |7/8||3/4||1/2||1/2|| ||1/2||1/3||3/5 |- !101 |7/12||3/8||1/2||1/2||1/2|| ||1/3||3/5 |- !110 |7/10||1/2||5/8||1/4||2/3||2/3|| ||1/2 |- !111 |1/2||3/10||5/12||1/8||2/5||2/5||1/2|| |} Чтобы найти выигрышную тройку, в верхней строке таблицы найдите тройку игрока А, а в её столбце ищите максимальное число. В строке с этим числом в левом столбце будет стоять тройка игрока Б, которая выигрывает против заданной тройки игрока А с максимальной вероятностью. Например, пусть игрок А выбрал тройку 000. В 1-м столбце таблицы ищем наибольшее число, это 7/8. В левом столбце строки с числом 7/8 читаем тройку игрока Б 100, которая выигрывает против тройки 000 с вероятностью 7/8. Действительно: если при бросании монеты последовательность не начинается на 000, то, когда эта тройка впервые появится в случайной последовательности, ей будет предшествовать 1, а это значит, что тройка 100 встретилась раньше, и игрок Б выиграл. Тройка 000 выигрывает против тройки 100, только если 000 встретится в самом начале случайной последовательности, а вероятность этого равна 1/8.
Оптимальная стратегия для первого игрока (для любой длины последовательности не менее 4) была найдена венгерским математиком и криптографом Яношем Чириком.
См. также Парадокс
Примечания
Ссылки В этом рассказе студенты мехмата ДГУ (ныне ДНУ — Днепропетровский национальный университет) получают зачёт по физкультуре, используя данный парадокс У. Пенни.
Roland Backhouse. First-past-the-post Games
Категория:Математические парадоксы