Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.
В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются: Проблемы Гильберта Проблемы Ландау Проблемы тысячелетия Проблемы Смейла Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.
Теория чисел
Проблема Гольдбаха. Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел? Проблема Варинга. Функция Харди — наименьшее такое, что уравнение разрешимо при . Значения этой функции известны только для равных 2 и 4. Бесконечно ли множество простых чисел-близнецов? Гипотеза Била. Верно ли, что если где — натуральные и , то имеют общий простой делитель? Гипотеза Коллатца (гипотеза ). Верно ли, что любое натуральное число приходит к при повторении следующего алгоритма: Если число является нечётным то к нему применяется формула , в противном случае к нему применяется формула ? Гипотеза Эрдёша. Верно ли, что если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии? Числа ван дер Вардена. При каком наименьшем при любом разбиении множества на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7? Существует ли параллелепипед Эйлера (параллелепипед со всеми целочисленными рёбрами и лицевыми диагоналями), главная диагональ которого также имеет целую длину? Две из четырёх гипотез Поллока.
Геометрия На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?Unsolved Problem 26: Given a simple closed curve in the plane, can we always find four points on this curve that are the vertices of a square? Unsolved Problem of the Week . MathPro Press. Существует ли такая константа , что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь , обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?Unsolved Problem 33: Is there a constant, A, such that any set in the plane of area A must contain the vertices of a triangle with area 1? Unsolved Problem of the Week . MathPro Press. Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально? Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?Unsolved Problem 22: Is there a triangle with integer sides, medians, and area? Unsolved Problem of the Week . MathPro Press. Найдётся ли на плоскости точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин единичного квадрата рационально?Unsolved Problem 13: Is there a point in the plane that is at a rational distance from each of the four corners of a unit square? Unsolved Problem of the Week . MathPro Press. Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое). У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений? Даны положительные действительные числа . Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам? Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней? При каком минимальном любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма Чему равно хроматическое число -мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера). Задача Томсона. Как разместить одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для ). Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из точек? Как разместить точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?Unsolved Problem 23: How should you locate 13 cities on a spherical planet so that the minimum distance between any two of them is as large as possible? Unsolved Problem of the Week . MathPro Press. Для каждой пары натуральных чисел найти такое наименьшее действительное число , что любое множество единичного диаметра в -мерном евклидовом пространстве можно разбить на подмножеств диаметром не больше . Задача решена только в нескольких частных случаяхDecomposing the 2-Sphere into Domains of Smallest Possible DiameterNoga Alon, Discrete mathematics: methods and challenges . Чему равна площадь множества Мандельброта, и где на оси абсцисс расположен его центр масс? Существуют оценки S = 1,506 591 884 9 ± 0,000 000 002 8 и C = −0,286 768 420 48 ± 0,000 000 003 35. Задача со счастливым концом. При каком минимальном среди любых точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого -угольника, и верно ли, что ? Решение известно только для . Результат для (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа. Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Вана, которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 11, и было показано, что 10 плиток недостаточно для обеспечения апериодичности. (Показан непериодический набор из 11 плиток с 4 цветами.)}. В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой? Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 годуTobias Kreisel, Sascha Kurz, There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle Erich Friedman, Unsolved Problems in Planar Geometry . Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1? Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём? Cуществует ли для каждого многоугольника и такой многоугольник, все вершины которого расположены на расстоянии, меньшем чем от соответствующих вершин начального многоугольника и все стороны и диагонали которого имеют рациональную длину?
Задачи упаковки Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса ? Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента? Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?
Многомерные пространства Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью ? Эта задача решена лишь для (240) и (196 560). Задача плотнейшей упаковки шаров в -мерном евклидовом пространстве для . Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки. Доказано также, что для и решётки кроме контактного числа реализуют также и плотнейшую упаковку шаров. Гипотеза Борсука. Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1? Опровергнута для пространств размерности больше 63, доказана для пространств размерности меньше 4, для 4 ≤ n ≤ 63 проблема не решена.
Механика Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми? Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными? Двенадцать нерешённых геометрических вопросов, связанных с задачами механики помещены в книге .
Алгебра Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы существует поле алгебраических чисел такое, что является расширением поля рациональных чисел и изоморфна . Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверноR. Grigorchuk, I. Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners на arXiv. Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой? Является ли кольцо периодов полем? Проблема О. Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1972. — С. 30. Проблема Л. С. Понтрягина Пусть — эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства , гомеоморфного — мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства на единичную сферу евклидова — мерного пространства, при котором группа переходит в некоторую группу движений сферы ? Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов, колец и решёток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток? Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решёток, достижимых на классе всех таких полугрупп. Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствами? Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности иметь мощность ? Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счётная группа, что всякая счётная группа изоморфна одной из её подгрупп? Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца. Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге. Отсутствует полное описание множества общезначимых формул на алгебраических системах. Неизвестно, замкнуто ли множество относительно дополнения в множестве Формулировки нерешённых проблем теории бесконечных абелевых групп приведены в книге
Коуровская тетрадь Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2—4 года. Выпускается на русском и английском языках.
Днестровская тетрадь Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей.
Свердловская тетрадь Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп.
Эрлагольская тетрадь Представляет собой сборник нерешённых задач алгебры и теории моделей.
Анализ Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой ? Чему равна постоянная Миллса? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана. До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как и ; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа бесконечное количество раз.