Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение) -мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство при можно аппроксимировать -гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением). Термин изометрическое вложение/погружение здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.
Формулировка
Пусть есть Риманово многообразие и есть короткое -гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство и . Тогда для любого существует вложение (или соответственно погружение) такое, что является -гладким, (изометричность) для любых двух касательных векторов в касательном пространстве точки мы имеем:
(-близость) для всех .
Замечания Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично -вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе -вложений.
Система уравнений определяющая изометричное вложение имеет неизвестных — это координатные функции и зависят от компонент метрического тензора. Таким образом система является переопределеной при . Тем не менее согласно теореме, она имеет решение.
История
Теорема была доказана Нэшем в предположении вместо и приведена к настоящему виду Кёйпером; он заменил одну конструкцию (скучивание Нэша) на более сложную, оставив основную часть доказательства без изменений.
Вариации обобщения Теорема Нэша о регулярных вложениях Теорема Громова о складках утверждает, что для любого короткого отображения из -мерного риманова многообразия в существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.
Литература
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Нэша — Кёйпера