В теории чисел теорема Прота является тестом простоты для чисел Прота.
Формулировка Теорема Прота гласит:
Если p — это число Прота вида , где k — нечётно и , то p — простое (называемое простым Прота) тогда и только тогда, когда для некоторого квадратичного невычета a выполняется сравнение:
Доказательство (а) Пусть p — простое. Тогда для любого квадратичного невычета a: по критерию Эйлера.
(б) Пусть для некоторого квадратичного невычета a. Используем критерий Поклингтона, где . Тогда — единственный простой делитель . Проверим выполнение условий критерия: — выполнено. числа n и взаимно просты — выполнено. Так как условие выполнено, n — простое. Public Key Cryptography:Applications and Attacks
Тестирование чисел Прота на простоту Теорема Прота может быть использована для тестирования простоты чисел Прота. Алгоритм вероятностного теста, основанного на теореме, выглядит следующим образом: Случайным образом выбирается целое число , такое что и вычисляет . Возможны следующие исходы: , тогда — простое по теорема Прота. и , тогда — составное, так как — нетривиальные делители . , тогда p — составное по малой теореме Ферма. , тогда результат теста неизвестен. Исход (4) является причиной того, что тест вероятностный. В случае (1) — квадратичный невычет по модулю . Процедура повторяется пока простота не будет установлена. Если — простое, то тест с вероятностью подтвердит это за одну итерацию, так как количество квадратичных невычетов по модулю ровно . Deterministic Primality Proving on Proth Numbers
Примеры для p = 3, 2 1 + 1 = 3 кратно 3, поэтому 3 является простым. для p = 5, 3 2 + 1 = 10 кратно 5, поэтому 5 является простым. p = 13, 5 6 + 1 = 15626 делится на 13, 13 является простым. для p = 9, которая не является простым, не существует b таких что a 4 + 1 делится на 9.
Простые числа Прота Простые числа Прота образуют последовательность: 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153 … ()
На май 2017 года, крупнейшее известное простое Прота, 10223 · 231172165 + 1, найдено проектом Primegrid. Оно имеет 9383761 десятичных цифр и является крупнейшим известным простым, не являющимся простым Мерсенна.The Top Twenty Largest Known Primes
Обобщенная теорема Прота Лемма. Пусть для некоторого простого l и . Пусть — степень простого числа, где . Если и , то n — простое. Доказательство. — делитель , поэтому . Если , то — противоречие. Следовательно и — простое. Теорема (обобщенная теорема Прота). Пусть для некоторого простого и целых . Пусть . Если и для некоторого целого , то — простое.
Доказательство обобщенной теоремы можно найти в работе Sze.
История (1852—1879) опубликовал теорему около 1878 года.
См. также Число Серпинского
Примечания
Ссылки
«Обзор проверок на простоту», Кучин, 2005
Категория:Тесты простоты Категория:Теоремы о простых числах