Многочлены Шапиро — последовательность многочленов, впервые изученная Гарольдом Шапиро в 1951 году при рассмотрении величин некоторых специальных тригонометрических сумм. С точки зрения обработки сигналов, полиномы Шапиро обладают хорошими автокорреляционными свойствами, и их значения в единичном круге малы. Первые члены последовательности:
,
где вторая последовательность, Q, называется дополнительной к первой последовательности, P.
Построение Полиномы Шапиро могут быть получены из последовательности Рудина-Шапиро (, если число подстрок 11 в двоичной записи числа n четно, и иначе (OEIS )). Так, и т. д.
есть частичная сумма порядка степенного ряда
Последовательность Рудина-Шапиро имеет структуру, схожую с фрактальной — например, , то есть подпоследовательность совпадает с исходной . Это свойство приводит к примечательным функциональным уравнениям, которым удовлетворяет .
Дополнительные полиномы Шапиро, , могут быть определены через эту же последовательность, через отношение , или же через рекуррентные формулы:
Свойства Дополнительная последовательность, , соответствующая , однозначно определяется следующими свойствами:
Степень равна . Коэффициенты равны , коэффициент при нулевой степени равен 1. Равенство выполнено на всей единичной окружности .
Наиболее интересным свойством последовательности является то, что модуль значения на единичной окружности ограничен , что по порядку равно -норме . Многочлены с коэффициентами , максимум модуля которых на единичной окружности близок к среднему значению модуля, полезны в различных приложениях теории коммуникаций (например, форма антенны и сжатие данных). Свойство (3) показывает, что (P, Q) образуют пару Голея.
Другие свойства этих многочленов:
См. также Многочлены Литлвуда
Примечания
Список литературы Chapter 4.
Категория:Цифровая обработка сигналов Категория:Гармонический анализ