Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:
Её численное значение приблизительно равно:
G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … ()
Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.
Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана ().
Связь с другими функциями Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:
Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма
Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов
так что
нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией , и постоянной Каталана G.
Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:
Интегральные представления Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:
Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):
Быстро сходящиеся ряды Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:
и
Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулыB. C. Berndt, Ramanujan’s Notebook, Part I, Springer Verlag (1985). и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулыD. J. Broadhurst, «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) », (1998) arXiv math.CA/9803067.. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. КарацубойE. A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, eds.; pp. 29—41 (2001)..
Цепные дроби Цепная дробь константы Каталана () выглядит следующим образом:
Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:
Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
Вычисление десятичных цифр Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмовX. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation .
+ Число известных значащих цифр постоянной Каталана G Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления 1865 14 Эжен Шарль Каталан 1877 20 Джеймс Уитбред Ли Глейшер 1913 32 Джеймс Уитбред Ли Глейшер 1990 Greg J. Fee 1996 Greg J. Fee 1996, 14 августа Greg J. Fee и 1996, 29 сентября Thomas Papanikolaou 1996 Thomas Papanikolaou 1997 Patrick Demichel 1998, 4 января Xavier Gourdon 2001 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2002 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2006, октябрь Shigeru Kondo & Steve PagliaruloShigeru Kondo’s website 2008, август Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 2009, 31 января Alexander J. Yee & Raymond Chan 2009, 16 апреля Alexander J. Yee & Raymond Chan
См. также Дзета-функция Римана Бета-функция Дирихле
Примечания
Ссылки Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant
Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan , (1993) Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi² , (1999)
Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996)
Каталан Категория:Теория чисел Категория:Числа с собственными именами Категория:Положительные числа