Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование векторного пространства , которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.
Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.
Широко применяется в линейной алгебре для QR-разложения матрицы.
Определения Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором , который ортогонален ей, а — скалярное произведение в , тогда
называется оператором Хаусхолдера.
Матрица Хаусхолдера имеет вид:
В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.
Свойства Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: Матрица Хаусхолдера является унитарной: Матрица Хаусхолдера является инволюцией: . Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное , которое соответствует собственному вектору , все другие собственные значения равны . Определитель матрицы Хаусхолдера равен .
Литература Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947
Ссылки http://www.tdoc.ru/c/programming/programming-theory/matrix-vectors-values-page8.html https://web.archive.org/web/20070609042513/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HouseholderMod.html
Категория:Линейная алгебра Категория:Численные методы линейной алгебры