Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,
где — гамма-функция, а
— дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:
где — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного (в указанных точках функция имеет сингулярности первого порядка).
Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда
который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комплексного (в указанных точках функция имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,
В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.
Отметим, что в литературе иногда обозначается как или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция называется тригамма-функцией, — тетрагамма-функцией, — пентагамма-функцией, — гексагамма-функцией, и т. д.
__TOC__
Интегральное представление Полигамма-функция может быть представлена как
Это представление справедливо для и . При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде
где — постоянная Эйлера—Маскерони.
Асимптотические разложения При () справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:
Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид
где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.
Частные значения Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,
а для дигамма-функции (при ) —
где — постоянная Эйлера–Маскерони.
Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.
Другие формулы Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению
а также формуле дополнения
Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:
а для дигамма-функции () к правой части надо добавить lnk,
См. также Дигамма-функция Тригамма-функция
Примечания
Ссылки
Категория:Гамма-функция и связанные функции Категория:Теория чисел