Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве ), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.
Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию
для каждой матрицы
принадлежащей модулярной группе .
Модулярная форма Модулярной формой веса для группы называется голоморфная функция , удовлетворяющая условию для любых и и голоморфная во всех параболических точках.
Пусть — верхняя комплексная полуплоскость: . Группа матриц для натурального числа определяется как . Группа действует на с помощью дробно-линейных преобразований где и .
Свойства модулярных форм Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса является (при ) ряд Эйзенштейна:
где .
Пусть
— модулярные инварианты, — модулярный дискриминант. Определим следующим образом основной модулярный инвариант ():
Тогда выполняются равенства
Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть — модулярная форма веса 4, — модулярная форма веса 12. Соответственно — модулярная форма веса 12, а — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.
Примечания
Литература
Ссылки J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекций.
Категория:Теория чисел Категория:Комплексный анализ Категория:Аналитическая теория чисел