Функция Морса ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки.
Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии.
Определение Пусть ― гладкое многообразие, край которого является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий и . Функция Морса триады ― такая гладкая класса функция , (или ) при , что:
все критические точки функции лежат в и невырождены.
Свойства
Если многообразие конечномерно, то для множество функций Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности. В пространстве всех -гладких () функций
множество функций Морса является плотным открытым множествомV. Guillemin, A. Pollack, Differential topology — Prentice-Hall, New York, NY, 1974..
Вариации и обобщения Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора) многообразия. При этом требуется дополнительное условие: (условие Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве , где функция ограничена, а нижняя грань функции равна нулю, существует критическая точка функции . Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.
В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра
См. также
Граф Риба
Примечания
Категория:Теория Морса