Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.
Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами.
Определения
Пусть дано множество . Семейство множеств называется покрытием , если
Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Тогда семейство открытых множеств называется открытым покрытием множества , если
Связанные определения
Если — покрытие множества , то любое подмножество , также являющееся покрытием , называется подпокры́тием. Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие вписано в покрытие , если такое, что Покрытие множества называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки существует окрестность , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов , то есть множество конечно. Покрытие множества называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством открыто в , открыто и в . называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие; называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.
Свойства
Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.
См. также
Карта (математика) Нерв покрытия Размерность Лебега
Примечания
Категория:Общая топология