Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — версия постньютоновского формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем пульсаров в двойных системах.

История Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела. (Nordtvedt, 1968, 1969) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса.

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах (Ni, 1972), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972), Мизнера, Торна и Уилера Гравитация, и Уилла, и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation) Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности. В обозначениях Уилла (Will, 1971), Ни (Ni, 1972) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973) ППН параметры имеют условно следующее значение: Насколько сильная пространственная кривизна в генерируется единицей массы покоя? Насколько велика нелинейность в при сложении гравитационных полей? Как много тяготения в производится единицей кинетической энергии ? Как много тяготения в производится единицей гравитационной потенциальной энергии ? Как много тяготения в производится единицей внутренней энергии тела ? Как много тяготения в производится единицей давления ? Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в производится единицей импульса ? Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении  — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы и пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры и .

Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation) В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972), используемой также в работах Уилла (1981, 2014), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

, , , , , , , , , получается из .

Смысл параметров , и при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира). , , , и измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть и .

Вид метрики альфа-дзета варианта:

, где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала , квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины),  — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя,  — квадрат этой скорости, а если и в противоположном случае — символ Кронекера.

Есть только десять простых метрических потенциалов: , , , , , , , , и , столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например,

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973), Уилла (1981, 2014) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981. Процесс состоит из девяти стадий:

Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика , гравитационное скалярное , векторное и/или тензорное поле и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика , космологическое время и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей. Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем , , , . Шаг 3: Вводим новые переменные , а если необходимо, то и , , . Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для и прочих динамических гравитационных переменных. Шаг 5: Решаем уравнения для с точностью до . Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму , где  — гравитационный потенциал Ньютона, а может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» . Ньютонова метрика имеет форму , , . Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице . Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем с точностью до и с точностью до . Шаг 7: Находим с точностью до . Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка. Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку. Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна и поэтому , что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, , метрика равна и, следовательно, , что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них . Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от и , то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение .

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что , и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении . Предел даёт очень малое , которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и , так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры Значения взяты из обзора Уилла, 2014 Параметр Границы Эффекты Эксперимент Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света Траектория «Кассини — Гюйгенса» Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе Прецессия оси вращения Миллисекундные пульсары Сдвиг плоскости орбиты Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333 Прецессия оси вращения Миллисекундные пульсары Самоускорение Статистика замедления пульсаров - Комбинированный предел разных экспериментов Ускорение двойных пульсаров PSR 1913+16 Третий закон Ньютона Ускорение Луны ‡ - Не является независимым

‡ По из работ Уилла (1976, 2014). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел из статьи Ни (1972).

Примечания

Литература Основная  — Перевод

Дополнительная  — Перевод  — Перевод

См. также Линеаризованная гравитация Проверка общей теории относительности Параметры Пескина — Такэути — аналог ППН формализма в электрослабой теории

Категория:Общая теория относительности