Гипотеза Бо́рсука (проблема Борсука) — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии: Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в -мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?
Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году. Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало. Однако в 1993 году был найден контрпример.
По состоянию доказано, что гипотеза верна при , и неверна для , вопрос остаётся открытым для .
Положительные решения
Случай очевиден. Случай был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра . Кроме того, Борсук доказал, что -мерный шар нельзя разделить на частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама).
В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех для выпуклых тел с гладкой границей.
В 1947 году доказал случай для всех ограниченных тел, независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик Эгглстон; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и Альдаром Хеппешем; они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.
По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований, оставляющих на месте правильный -мерный симплекс.
В 1993 году Борис Декстер установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек. В 1995 году им же дан положительный ответ для всех тел вращения в произвольных размерностях.
Число Борсука Число Борсука — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в -мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для . Сравнительно легко получены оценки и . В 1983 году Маршалл Лассак установил, что .
Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка : ; в 1988 году Одед Шрамм установил, что: .
Отрицательные решения Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году и , построившими контрпример в размерности и доказавшими невыполнение гипотезы для всех . Кроме того, они показали, что для достаточно больших существуют -мерные тела, которые нельзя разбить на частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:
1993 — (Калай — Кан), 1994 — (Нилли), 1997 — (Вайссбах — Грей), 1997 — (Райгородский), 2000 — (Вайссбах), 2001 — (Хинрихс), 2002 — (Пихурко), 2003 — (Хинрихс — Рихтер), 2013 — (Бондаренко), 2013 — (Йенрих).
Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие комбинаторные результаты. Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — , в одном из результатов Райгородского (1999) эта оценка улучшена до .
Вариации и обобщения
В 1953 году Дэвид Гейл выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром: , то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом.
В 1971 году гипотеза Борсука подтверждена для сферического и гиперболического пространств при .
В 1991 году этот результат обобщён на произвольные размерности для центрально-симметрических выпуклых гиперповерхностей.
В 2012 году изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве с евклидовой метрикой и с метрикой .
В 2019 году рассмотрен вопрос о разбиении произвольных ограниченных метрических пространств на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по метрике Громова — Хаусдорфа от заданного пространства до симплексов заданной мощности, где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы.
Примечания
Литература (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
Категория:Комбинаторная геометрия Борсука гипотеза Категория:Выпуклая геометрия Борсука