Объе́кт катего́рии — базовое, неопределяемое понятие теории категорий, применяемое для обозначения элементов категории, в роли которых могут выступать математические объекты, объединяемые заданной категорией в совокупность — таковыми могут быть, например, множества (объекты категории множеств), алгебраические системы определённого класса (например, кольца — объекты категории колец), топологические пространства (объекты категории топологических пространств), схемы (объекты категории схем).
Кроме класса объектов, каждая категория состоит также из класса морфизмов — совокупностей преобразований объектов; при этом морфизмы одной категории могут рассматриваться как объекты в какой-либо другой или наоборот, то есть, разделение составляющих категории на объекты и морфизмы имеет смысл только в рамках фиксированной категории.
Для заданной категории класс её объектов обычно обозначается . Всякому объекту соответствует единственный единичный морфизм , притом уникальный в данной категории, то есть единичные морфизмы разных объектов совпадать не могут. Благодаря этому факту можно определить понятие категории не прибегая к введению объектов, а лишь с помощью морфизмов. Кроме того, в построениях теории высших категорий объекты называют «0-морфизмами», морфизмы объектов (морфизмы в обычном смысле) — «1-морфизмами», морфизмы морфизмов — «2-морфизмами» и так далее, тем самым подчёркивая общность объектов и их преобразований в категорном языке. Тем не менее, понятие объекта категории является удобным для описания соответствующего вида элементов, поэтому практически всегда используется.
Некоторые типы объектов Объект называется универсальным притягивающим (терминальным) объектом, если для любого объекта существует единственный морфизм . Объект называется универсальным отталкивающим (инициальным, начальным) объектом, если для любого объекта существует единственный морфизм . Объект называется нулевым, если он одновременно универсальный притягивающий и отталкивающий.
Литература
Категория:Теория категорий