Формула поворота Родрига — формула, связывающая два вектора с общим началом, один из которых получен поворотом другого на известный угол вокруг оси, проходящей через их общее начало:
где — исходный вектор, — результирующий вектор, — единичный вектор оси поворота, — угол поворота. Также формула может быть записана в виде:
Лежит в основе векторной теории конечных поворотов и сложения вращений. Получена О. Родригом в 1840 г.
Вывод
Без потери общности, направим ось вдоль единичного вектора , а вектор — лежащим в плоскости OXZ, тогда:
Откуда:
Положим вектор , равный:
Заметим, что:
Тогда вектор можно выразить через векторы и и угол :
Результирующий вектор выражается через векторы и :
Приведя подобные, получим формулу поворота Родрига:
В матричной форме
Векторное умножение на вектор можно представить в виде умножения на матрицу :
Вектор при повороте вокруг единичного вектора перейдет в вектор
где
Таким образом получается, что матрица поворота вокруг единичного вектора на угол
где
Примечания
Литература — С. 101—103.
Категория:Векторный анализ