Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу равен единичной матрицеИльин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 4-е изд. — М: Наука, 1999. — стр. 158. — ISBN 5-02-015235-8.:
или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице:
Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.
Ортогональная матрица с определителем называется специальной ортогональной. Свойства Ортогональная матрица является унитарной () и, следовательно, нормальной (). Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:
и
где , — порядок матрицы, а — символ Кронекера.
Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов. Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:
Обратное неверно; матрица с определителем может быть неортогональной. Так, матрица неортогональна, хотя её определитель равен 1. Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу, которая обозначается или (если опускается, то предполагается ). Линейный оператор, заданный ортогональной матрицей, переводит ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный. Матрица вращения является специальной ортогональной. Матрица отражения является ортогональной. Любая ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида и
Примеры — единичная матрица.
— матрица, отражающая плоскость относительно оси Х.
— матрица поворота плоскости на угол .
— пример матрицы поворота.
— пример перестановочной матрицы.
— матрица поворота, выраженная через углы Эйлера.
См. также Унитарная матрица Ортогональное преобразование Ортогональная группа Специальная ортогональная группа
Примечания
Категория:Типы матриц