Теорема тангенсовEli Maor. Trigonometric Delights // Princeton University Press, 2002. — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.

История Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.О. В. Мантуров. Толковый словарь математических терминов

Формулировка

На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что

Доказательство Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:

Пусть

откуда

Отсюда следует, что

Используя известное тригонометрическое тождество

получаем:

Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество

.

Другое доказательство с использованием формул Мольвейде Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

где  — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и  — длины сторон соответственно между вершинами и , и , и .

Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем

С учетом того, что , окончательно имеем:

что и требовалось доказать.

См. также Решение треугольников Теорема косинусов Теорема котангенсов Теорема о проекциях Теорема Пифагора Теорема синусов Тригонометрические тождества Тригонометрические функции Формула половины стороны Формулы Мольвейде

Примечания

Категория:Планиметрия Категория:Тригонометрия Категория:Геометрия треугольника Категория:Теоремы планиметрии