Душа́ риманова многообразия — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие, являющееся его деформационным ретрактом.
Обычно предполагается, что — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.
Примеры
Любое компактное многообразие является своей душой.
У евклидова пространства Rn любая точка является его душой.
У параболоида M = {(x,y,z) : z = x2 + y2}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.
У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} с фиксированной z является душой M.
История
Термин душа введён
и Громолом в 1972 году в статье, где они, в частности, доказали теорему о душе. Теорема обобщала более раннюю теорему Громола и Мейера. В той же статье Чигером и Громолом сформулирована гипотеза о душе. Короткое доказательство этой гипотезы было дано Григорием Перельманом в 1994 году.
Свойства Ниже предполагаем, что — это полное связное риманово многообразие с секционной кривизной . Теорема о душе утверждает: Всякое имеет душу . Более того, многообразие диффеоморфно нормальному расслоению над . Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием , но любые две души изометричны. Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году, построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-липшицев деформационный ретракт .
Ретракция Шарафутдинова является римановой субмерсией. В частности, если имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству.
Связанные открытые вопросы Гипотеза о двойной душе утверждаетK. Grove, Geometry of and via symmetries, что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.
Примечания
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия