Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.
Формулировка Пусть — длины трёх сторон треугольника, — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон , — радиус вписанной окружности треугольника и — полупериметр треугольника. Тогда справедливы следующие формулы:The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
,
,
,
или эквивалентно:
.
Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен разности отношения полупериметра и длины противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.
Доказательство
Обобщение
В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.
Следствия
Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности . Далее, так как площадь треугольника , из теоремы котангенсов следует формула Герона.
См. также Теорема косинусов Теорема о проекциях Теорема синусов Теорема тангенсов Тригонометрические тождества Тригонометрические функции Формулы Мольвейде
Примечания
См. также Тригонометрические тождества Тригонометрические функции
Категория:Планиметрия Котангенсов Котангенсов Котангенсов