Ретракт топологического пространства — подпространство этого пространства, для которого существует ретракция на ; то есть непрерывное отображение , тождественное на (то есть такое, что при всех ).
Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства. В то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.
Примеры Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д. Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом. -мерная сфера не является ретрактом -мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий, а сфера — ненулевую группу . Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.
Связанные определения Подпространство пространства называется окрестностным ретрактом, если в существует открытое подпространство, содержащее , ретрактом которого является . Метризуемое пространство называется абсолютным ретрактом (абсолютным окрестностным ретрактом), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего в качестве замкнутого подпространства. Если ретракция пространства на его подпространство гомотопна тождественному отображению пространства на себя, то называется деформационным ретрактом пространства . Линейный оператор в топологическом векторном пространстве , являющийся ретракцией, называется непрерывным проектором. Векторное подпространство топологического векторного пространства называется дополняемым, если существует непрерывный проектор .
Свойства Подпространство пространства является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства в произвольное топологического пространство можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства в . Если пространство — хаусдорфово, то всякий ретракт пространства замкнут в . Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются компактность, связность, линейная связность, сепарабельность, ограничение сверху на размерность, паракомпактность, нормальность, локальная компактность, локальная связность. Если пространство имеет свойство неподвижной точки, т.е . для каждого непрерывного отображения существует точка такая, что , то и каждый ретракт пространства обладает свойством неподвижной точки. Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством. Ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.
Литература
Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971. Куратовский К., Топология том 1, пер. с англ., стр 112, 1966
Категория:Общая топология