Теорема Кантора — классическое утверждение теории множеств. Доказано Георгом Кантором в 1891 году. Утверждает, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств .
Доказательство Предположим, что существует множество , равномощное множеству всех своих подмножеств , то есть, что существует такая биекция , ставящая в соответствие каждому элементу множества некоторое подмножество множества .
Рассмотрим множество , состоящее из всех элементов , не принадлежащих своим образам при отображении Оно существует по аксиоме выделения, значение есть подмножество .: .
Отображение биективно, а , поэтому существует такой, что .
Теперь посмотрим, может ли принадлежать . Если , то , а тогда, по определению , . И наоборот, если , то , а следовательно, . В любом случае, получаем противоречие.
Следовательно, исходное предположение ложно и не равномощно . Таким образом доказана строгость неравенства.
Для определения знака неравенства построим инъективное отображение , сопоставляющее каждому элементу из подмножество , состоящее из этого единственного элемента. В остались множества (состоящие из более чем одного элемента). Отсюда можно сделать вывод, что .
Примечания
Ссылки Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? Глава II, § 4, С. 111—122.
См. также Диагональный аргумент Парадокс Рассела
Кантора Категория:Мощность множеств