Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить в любой точке сферы Римана. Названо в честь математика Бернхарда Римана.
Определение Дифференциальное уравнение Римана определяется как
Его регулярными сингулярными точками будут a, b и c. Их степени и , и , и соответственно. Они удовлетворяют условию
Решения уравнения Решения уравнения Римана записываются через P-символ Римана
Обычная гипергеометрическая функция может быть записана как
P-функции подчиняются ряду тождеств, одно из которых позволяет обобщить их в терминах гипергеометрических функций. А именно, выражение
позволяет записать решение уравнения в виде
Преобразование Мёбиуса P-функция обладает простой симметрией по отношению к преобразованию Мёбиуса, то есть по отношению к группе GL(2, C) или, что эквивалентно, конформному отображению сферы Римана. Произвольно выбранные четыре комплексных числа A, B, C и D, удовлетворяющие условию , определяют соотношения и
Тогда будет справедливым равенство
Литература Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972) Chapter 15 Hypergeometric Functions Section 15.6 Riemann’s Differential Equation
Категория:Дифференциальные уравнения