Дифференциа́л (от — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.
Обозначения
Обычно дифференциал обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке обозначается , а иногда или . ( есть линейная функция на касательном пространстве в точке .)
Если есть касательный вектор в точке , то значение дифференциала на обычно обозначается , в этом обозначении излишне, но обозначения , и также правомерны.
Используется так же обозначение ; последнее связано с тем, что дифференциал является естественным поднятием на касательные расслоения к многообразиям и .
Определения
Для вещественнозначных функций Пусть — гладкое многообразие и
гладкая функция. Дифференциал представляет собой 1-форму на , обычно обозначается и определяется соотношением
где обозначает производную по направлению касательного вектора в точке .
Для отображений гладких многообразий Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции имеем
где обозначает производную по направлению . (В левой части равенства берётся производная в функции по ; в правой — в функции по ).
Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.
Связанные определения Точка многообразия называется критической точкой отображения , если дифференциал не является сюръективным (см. также теорема Сарда) Например, критические точки функций — в точности стационарные точки. Для функций это точки, в которых матрица дифференциала вырождается. В этом случае называется критическим значением . Точка называется регулярной, если она не является критической. Гладкое отображение называется субмерсией, если для любой точки , дифференциал сюръективен. Гладкое отображение называется гладким погружением, если для любой точки , дифференциал инъективен.
Свойства Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов: или
Примеры Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда , где обозначает производную , а является постоянной формой, определяемой . Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда . Форма может быть определена соотношением , для вектора . Пусть в открытом множестве задано гладкое отображение . Тогда
где есть матрица Якоби отображения в точке .
См. также Кодифференциал
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Дифференциальное исчисление