Арифметическим корнем -ной степени положительного действительного числа называется положительное действительное решение уравнения (для целого существует комплексных решений данного уравнения, если , но только одно является положительным действительным).
Существует быстросходящийся алгоритм нахождения корня -ной степени: Сделать начальное предположение ; Задать ; Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.
Частным случаем является итерационная формула Герона для нахождения квадратного корня, которая получается подстановкой в шаг 2: .
Существует несколько выводов данного алгоритма. Одно из них рассматривает алгоритм как частный случай метода Ньютона (также известного как метод касательных) для нахождения нулей функции с заданием начального предположения. Хотя метод Ньютона является итерационным, он сходится очень быстро. Метод имеет квадратичную скорость сходимости — это означает, что число верных разрядов в ответе удваивается с каждой итерацией (то есть увеличение точности нахождения ответа с 1 до 64 разрядов требует всего лишь 6 итераций, но не стоит забывать о машинной точности). По этой причине данный алгоритм используют в компьютерах как очень быстрый метод нахождения квадратных корней.
Для больших значений данный алгоритм становится менее эффективным, так как требуется вычисление на каждом шаге, которое, тем не менее, может быть выполнено с помощью алгоритма быстрого возведения в степень.
Вывод из метода Ньютона
Метод Ньютона — это метод нахождения нулей функции . Общая итерационная схема:
Сделать начальное предположение Задать ; Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.
Задача нахождения корня -ой степени может быть рассмотрена как нахождение нуля функции , производная которой равна .
Тогда второй шаг метода Ньютона примет вид
Ссылки .
Категория:Численные методы решения уравнений Категория:Ряды и последовательности Категория:Алгебра Категория:Элементарные функции Категория:Элементарная алгебра