Квадра́тное пирамида́льное число́ (часто называемое просто пирамида́льным число́м) — пространственное фигурное число, представляющее пирамиду, с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в решётке из точек.
Начало последовательности: , … ().
Формула
Общая формула для -го по порядку квадратного пирамидального числа:
Это частный случай формулы Фаулхабера, которую несложно доказать по индукции. Впервые равносильная формула была приведена в «Книге абака» Фибоначчи (XIII век).
В современной математике формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрара. Многочлен Эрара L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрара пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, а вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле: (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.
Производящая функция Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:
Связь с другими фигурными числами Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биномиальных коэффициентов:
Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдральные числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдральными следующим образом:
Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом.
Проблема нахождения квадратных пирамидальных чисел, являющихся одновременно квадратными числами, известна как задача об укладке пушечных ядер и была сформулирована Люка (1875).
Примечания
Литература
Ссылки Фигурные числа
Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula
Категория:Фигурные числа Категория:Пирамиды