Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:
. . . Определение Пирамидальные числа определяются следующим образом.
-е по порядку -угольное пирамидальное число есть сумма первых плоских фигурных чисел с тем же числом углов :
Геометрически пирамидальное число можно представить как пирамиду из слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до (нижний) шаров.
По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду:
Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:
Примечания
Литература
Ссылки Фигурные числа Figurate Numbers на сайте MathWorld Centered Polygonal Number на сайте MathWorld
Категория:Фигурные числа