Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.
Определение
Полунормой называется неотрицательная функция , в линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям: Абсолютная однородность: для любого скаляра Неравенство треугольника: для всех Пространство называется полунормированным пространством.
Свойства
Это свойство следует из первого условия определения и равенства , здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству : (где следует из линейности )
Это свойство также получается из первого условия при .
Если предположить существование такого , что , то из первого условия определения следует, что и . Воспользовавшись вторым условием, получаем противоречие с первым свойством.
Литература Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — , 1975.
Категория:Линейная алгебра Категория:Функциональный анализ