Модель Васичека (Vasicek) — однофакторная равновесная математическая модель, описывающая эволюцию так называемой мгновенной процентной ставки.
Является простейшей моделью, описывающей процесс с возвратом к среднему уровню.
Описание Модель предложена Олдржихом Вашичеком в 1977 году. Однофакторность связана с тем, что в модели участвует лишь один источник неопределённости динамики ставки. В рамках данной модели предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня.
Эта модель стала первой, учитывающей тенденцию процентных ставок к возврату к среднему (): процентные ставки не могут расти до бесконечности, так как их высокий уровень ограничит экономическую деятельность и после определённого предела сведет её на нет; с другой стороны, ставки естественным образом ограничены снизу. Таким образом, ставки должны двигаться в ограниченном диапазоне.
Недостаток модели Васичека заключается в нормальном распределении, что кроме всего прочего теоретически допускает отрицательные значения ставки (как показала практика ставок в евро, отрицательные ставки хоть и маловероятны, но все-таки возможны).
Математическая модель Математически модель записывается в виде следующего стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа (уравнение Орнштейна — Уленбека):
,
где: — винеровский процесс — средний (долгосрочный) уровень процентной ставки, — параметр, характеризующий скорость возврата к среднему значению — параметр волатильности. В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки.
В 1990 и 1991 годах были представлены модели, соответственно, Блэка — Дермана — Тоя и Блэка — Карасинского, вводящие нестационарную волатильность.
Решение уравнения
Решение уравнения приводит к следующей модели в интегральной форме:
Отсюда математическое ожидание и волатильность ставки равны:
Следовательно при имеем долгосрочный средний уровень ставки и волатильность
Кривая доходности
Если процесс, описывамый моделью Васичека, задан в риск-нейтральной мере, то стоимость дисконтной облигации с единичным номиналом равна:
,
где ,
Соответственно кривая доходности (срочная структура процентных ставок), соответствующая модели Васичека, в терминах непрерывных ставок имеет вид:
,
или, если использовать обозначения
В случае если изначально модель Васичека задана в физической вероятностной мере, то формула для кривой аналогична, но величина увеличивается на слагаемое , где - так называемая рыночная цена риска, определяемая из условия отсутствия арбитража при формировании облигаций с разными сроками до погашения.
См. также Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки Модель Халла-Уайта Модель Кокса-Ингерсола-Росса
Примечания
Категория:Финансовые модели