Матрица расстояний — это квадратная матрица типа «объект-объект» (порядка n), содержащая в качестве элементов расстояния между объектами в метрическом пространстве. Свойства Свойства матрицы являются отражением свойств самих расстояний: симметричность относительно диагонали, то есть ; отражение свойства тождественности расстояния в матрице расстояний проявляется в наличии 0 по диагонали матрицы, так как расстояние объекта с самим собой очевидно равно 0, а также в наличии нулевых значений для абсолютно сходных объектов; значения расстояний в матрице всегда неотрицательны неравенство треугольника принимает форму для всех , и .
В общем виде матрица выглядит так:
В широком смысле расстояния являются отражением такого понятия как различие, что двойственно понятию сходства, а элементы матрицы различия (в общем виде — матрицы дивергенций) двойственны элементам матрицы сходства (в общем виде — матрицы конвергенций). Связь между мерой сходства и мерой различия можно записать как , где F — мера различия; K — мера сходства. Следовательно, все свойства мер сходства можно экстраполировать на соответствующие им меры различия с помощью простого преобразования и наоборот. Визуально отношения между объектами можно представить с помощью графовых алгоритмов кластеризации. Можно сказать, что расстояния используются намного чаще, чем меры сходства: их чаще реализуют в статистических программах (Statistica, SPSS и др.) в модуле кластерного анализа.
Расстояния Известно, что существует обобщённая мера расстояний, предложенная Германом Минковским:
В вышеуказанное семейство расстояний входит: при p = 1 — «манхэттенское расстояние» («расстояние городских кварталов», ), или «-норма». Обобщённая мера Хэмминга в теоретико-множественной записи (после нормировки) может быть представлена как и являться двойственной мере абсолютного сходства. при ''p = 2 — расстояние Евклида. Часто используется и квадрат этого расстояния. при p'' → ∞ — sup-метрика, или метрика «доминирования». Также известна как расстояние Чебышёва. Существуют используемые расстояния и вне данного семейства. Наиболее известным является расстояние Махаланобиса.
Также интересно в качестве удачной иллюстрации связи мер сходства и различия расстояние Юрцева, двойственное мере сходства Браун-Бланке:
Пример На плоскости расположено шесть различных точек (см. изображение). В качестве метрики выбрано расстояние Евклида в пикселях.
Соответствующая матрица расстояний будет равна a b c d e f a 0 184 222 177 216 231 b 184 0 45 123 128 200 c 222 45 0 129 121 203 d 177 123 129 0 46 83 e 216 128 121 46 0 83 f 231 200 203 83 83 0
Полученную матрицу можно изобразить в виде тепловой карты. Здесь более тёмный цвет соответствует меньшему расстоянию между точками.
Примечания
Категория:Метрическая геометрия Категория:Кластерный анализ Категория:Теория меры Категория:Матрицы