Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.
Определения
Будем предполагать, что задано вероятностное пространство .
Дискретные случайные величины
Пусть и — случайные величины, такие, что случайный вектор имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности . Пусть такой, что . Тогда функция , где — функция вероятности случайной величины , называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.
Абсолютно непрерывные случайные величины
Пусть и — случайные величины, такие что случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности . Пусть таково, что , где — плотность случайной величины . Тогда функция
называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.
Свойства условных распределений
Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности, , , и почти всюду на , ,
Справедливы формулы полной вероятности: , .
Если случайные величины и независимы, то условное распределение равно безусловному:
или почти всюду на .
Условные вероятности
Дискретные случайные величины
Если — счётное подмножество , то .
Абсолютно непрерывные случайные величины
Если — борелевское подмножество , то полагаем по определению .
Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как .
Условные математические ожидания
Дискретные случайные величины
Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается суммированием относительно условного распределения: . Условное математическое ожидание при условии случайной величины — это третья случайная величина , задаваемая равенством .
Абсолютно непрерывные случайные величины
Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается интегрированием относительно условного распределения: . Условное математическое ожидание при условии случайной величины — это третья случайная величина , задаваемая равенством .
См. также Условное матожидание
Категория:Теория вероятностей