История тригонометрии как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.
Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы; немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ функций и другие инструменты анализа. Томас Пейн в своей книге «Век Разума» (1794) назвал тригонометрию «душой науки».
Ранний период
Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.
От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался: «Говоря о египетской геометрии, естественно упомянуть «египетские треугольники» – прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами, известные и в Месопотамии. В землемерной практике знание таких треугольников позволяло с помощью шнура с завязанными на нем на равном расстоянии узлами размечать прямые углы земельных участков»..
Древняя Греция Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку — для них она была частью астрономии.
Плоская тригонометрия Несколько теорем тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). В первой книге «Начал» теоремы 18 и 19 устанавливают, что большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол — и обратно, большему углу соответствует бо́льшая сторона. Теоремы 20 и 22 формулируют «неравенство треугольника»: из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого меньше суммы длин двух других. Теорема 32 доказывает, что сумма углов треугольника равна 180°.
Во второй книге «Начал» теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов:
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.
Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее.
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения . По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла. Попутно Аристарх доказал неравенство, которое в современных терминах передаётся формулой:
Это же неравенство содержится в «Исчислении песчинок» Архимеда. В трудах Архимеда (III век до н. э.) имеется важная теорема деления хорд, по существу эквивалентная формуле синуса половинного угла:
В течение всего периода развития античной науки главным полем для приложения результатов плоской тригонометрии у греков оставалась астрономия. Помимо задачи о вычислении расстояний, привлечения тригонометрии требовало определение параметров системы эпициклов и/или эксцентров, представляющих движение светила в пространстве. Согласно широко распространённому мнению, эта проблема впервые была сформулирована и решена Гиппархом (середина II века до н. э.) при определении элементов орбит Солнца и Луны; возможно, аналогичными задачами занимались и астрономы более раннего времени. Ему же часто приписывают авторство первых тригонометрических таблиц, не дошедших до нас. Впрочем, согласно некоторым реконструкциям, первые тригонометрические таблицы были составлены ещё в III веке до н. э., возможно, Аполлонием Пергским.
Вместо современной функции синуса Гиппарх и другие древнегреческие математики обычно рассматривали зависимость длины хорды окружности от заданного центрального угла (или, что эквивалентно, от заданной дуги окружности, выраженной в угловой мере). В современной терминологии, длина хорды, стягивающей дугу θ единичной окружности, равна удвоенному синусу центрального угла θ/2. Это соответствие справедливо для любых углов: 0° < θ < 360°. На языке хорд были сформулированы первые открытые греками тригонометрические соотношения. Например, современной формуле:
соответствовала у греков теорема:
где — хорда для центрального угла , — диаметр круга.
При этом радиус круга не считался равным единице, как сейчас. Например, у Гиппарха радиус круга предположительно считался равным R=3438 единиц — при таком определении длина дуги окружности была равна угловой мере этой дуги, выраженной в минутах: , и это облегчало вычисления. У Птолемея R=60 единиц. Согласно современным реконструкциям , величины хорд у Гиппарха были протабулированы с интервалом 7°30'. Возможно, в основе вычисления таблицы Гиппарха лежал метод, разработанный Архимедом и восходящий ещё к Аристарху.
Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. Для вычисления хорд Птолемей использовал (в главе X) теорему Птолемея (известную, впрочем, ещё Архимеду), которая утверждает: сумма произведений длин противоположных сторон выпуклого вписанного в круг четырёхугольника равна произведению длин его диагоналей. Из этой теоремы нетрудно вывести две формулы для синуса и косинуса суммы углов и ещё две для синуса и косинуса разности углов, однако общая формулировка этих теорем у греков отсутствует.
Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной). Впоследствии эта задача и её обобщения стали основной задачей тригонометрии: заданы несколько (обычно три) известных элементов треугольника, требуется найти остальные связанные с ним величины. Первоначально в число элементов треугольника (известных или неизвестных) включали стороны и углы при вершинах, позже к ним добавились медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанной или описанной окружности, положение центра тяжести и т. д. Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием — например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).
Сферическая тригонометрия Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей — системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов (в частности, была изобретена астролябия).
Историки не пришли к консенсусу насчёт степени развития у античных греков геометрии небесной сферы. Некоторые исследователи приводят доводы, что эклиптическая или экваториальная система координат использовалась для записи результатов астрономических наблюдений по меньшей мере уже во времена Гиппарха. Возможно, тогда были известны и некоторые теоремы сферической тригонометрии, которые могли использоваться для составления звёздных каталогов и в геодезии.
Первые известные нам труды по «Сферике» (то есть сферической геометрии, с ясным астрономическим уклоном) написали: (IV век до н. э.) Автолик из Питаны и Евклид («Феномены»). (II век до н. э.) Феодосий и Гипсикл. Некоторые разобранные в этих сочинениях задачи носят тригонометрический характер, однако из-за слабой разработанности теории авторы ещё применяют обходные пути. Например, задачу «найти время полного восхода (захода) зодиакального созвездия» Гипсикл решает приближённо с помощью многоугольных чисел.
Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). Историки считают, что подход Менелая во многом опирается на труды Феодосия, которые у Менелая существенно расширены и приведены в систему. По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов. Менелай доказал теорему, для которой у Евклида нет плоского аналога: два сферических треугольника конгруэнтны (совместимы), если соответствующие углы равны. Другая его теорема утверждает, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°.
Вторая книга «Сферики» излагает применение сферической геометрии к астрономии. Третья книга содержит важную для практической астрономии теорему Менелая, известную как «правило шести величин». Две другие открытые Менелаем фундаментальные теоремы впоследствии получили названия «правило четырёх величин» и «правило тангенсов».
Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.