Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксеЛи Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — c. 190.
Формулировка
— линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве, — единичная сфера,
— ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов оператора , — -ое собственное значение оператора и
— -мерное подпространство .
Доказательство , — -мерное подпространство , — линейная оболочка векторов . . Откуда следует, что . Пусть и . Так как то . С другой стороны: так как то
Равенство достигается при .
Дополнительно Очевидно, что .
Примечания
Литература Р. Беллман. Введение в теорию матриц Ланкстер. Теория Матриц Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Куранта — Фишера