Сходимость по распределению — вид сходимости случайных величин: последовательность случайных величин сходится по распределению к случайной величине , если распределения соответствующих элементов слабо сходятся к распределению величины . Используемые обозначения: , .
Случайная величина , определённая на вероятностном пространстве индуцирует распределение (вероятностную меру) ; соответственно, последовательность случайных величин сходится по распределению к случайной величине , если для любой непрерывной ограниченной функции : .
С использованием теоремы о замене меры в интеграле Лебега, определение эквивалентно можно сформулировать как сходимость для математических ожиданий для любой непрерывной ограниченной функции : , иногда это определение используется как основное.
Другое эквивалентное определение — величины сходятся по распределению к , если их функции распределения сходятся к функции распределения предела во всех точках непрерывности: .
Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:
почти всюду, то . Обратное, вообще говоря, неверно.
Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимость почти наверное и сходимость в среднем (то есть в при )) влечёт сходимость по распределению: ; обратное, вообще говоря, неверно. Таким образом, сходимость по распределению может быть рассмотрена как самая слабая форма сходимости случайных величин.
Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции. Теорема Леви о непрерывности связывает сходимость случайных величин по распределению с поточечной сходимостью их характеристических функций.
Примечания
Литература
Категория:Теория вероятностей Категория:Сходимость