Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году, . утверждающая, что
где обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что интервалы между последовательными простыми числами всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:
Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.
Эвристическое обоснование Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно . Эта модель известна как Модель Крамера''' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.
Доказанные результаты о пробелах между простыми числами Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что
предполагая истинной гипотезу Римана.
С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,.
Гипотеза Крамера — Гранвилла
Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов между простыми, не превышающими . Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:
В вероятностной модели при этом Но константа возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Гранвилл в 1995 году утверждал, что константа , где — постоянная Эйлера.
М. Вольф предложил формулу для максимального расстояния между последовательными простыми числами меньшими . Формула Вольфа выражает через функцию распределения простых чисел :
где , а есть удвоенная константа простых-близнецов.
Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми. Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:
Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R'' остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.
См. также Теорема о распределении простых чисел Интервалы между простыми числами Гипотеза Фирузбэхт — более сильная гипотеза Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрицы — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми
Ссылки
Примечания
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Гипотезы о простых числах