Макромеханическое моделирование каменных стен — метод моделирования каменной кладки стен, при котором неоднородная (гетерогенная система) кладки, состоящая из кладочных элементов (кирпича, природных или искусственных камней, бетонных блоков и др.) и строительного раствора, заменяется однородной (гомогенной) пластиной. Такая пластина имеет неодинаковые характеристики прочности и жесткости в направлениях нормально и параллельно постели кладки, поэтому является ортотропным телом. Процесс замены неоднородной структуры на однородную называется гомогенизацией кладки.

Гомогенизация кладки Гомогенизация кладки выполняется двумя способами, которые для краткости можно назвать аппроксимационной и макро-микро гомогенизацией.

Аппроксимационная гомогенизация использует данные о жесткости и прочности кладки при относительно простых видах напряжённого состояния кладки, таких как одноосное сжатие и растяжение нормально и параллельно постели кладки, двухосное равномерное сжатие, чистый срез, которые получают на основе прямых испытаний опытных образцов кладки и / или принимают по указаниям норм и пособий по проектированию каменных конструкций. Условия прочности для других случаев напряженного состояния задаются приближённо и выражаются через данные о прочности при простых видах напряженного состояния.

Данные о прочности при простых видах напряженного состояния являются опорными точками для построения трёхмерной поверхности, которая определяет условия локального разрушения кладки. При рассмотрении макроскопических условий разрушения эту поверхность принято называть поверхностью разрушения. Заметим, что в механике разрушения термин «поверхность разрушения» используют в другом значении. Этим термином называют поверхность, по которой на микроскопическом уровне происходит разрыв смещений из-за трещины нормального разрыва или трещины сдвига (дислокации), возникающий вокруг очага разрушения твёрдого тела.

Геометрия поверхности разрушения между опорными точками задаётся гипотетически. Как правило, принимается, что поверхность разрушения состоит из нескольких частей, которые могут иметь разную геометрическую форму. Форма частей поверхности разрушения выбирается с использованием упрощенных критериев разрушения или задаётся с использованием методов математической аппроксимации.

Макро-микро гомогенизация основана на микромеханическом моделировании многократно повторяющегося, одинакового объёма кладки, называемого основной ячейкой. Основная ячейка рассчитывается как совокупность плоских или пространственных конечных элементов (КЭ), на которые разделяются для расчета кладочные единицы и растворные швы основной ячейки. Прочность КЭ проверяют с использованием известных критериев разрушения изотропных материалов, которые могут приниматься разными для кладочных элементов и растворных швов.

Макро-микро гомогенизация не требует выполнения сложных испытаний образцов кладки, необходимых для аппроксимационной гомогенизации. Необходимые исходные данные, как правило, могут быть определены на основе стандартных испытаний кладочных элементов и раствора. Заметим, что кроме характеристик прочности, необходимы данные о деформативных свойствах материалов каменной кладки. Микромеханическое моделирование основной ячейки позволяет выявить особенности распределения напряжений в растворных швах и кладочных элементах.

Следует иметь в виду, что макро-микро гомогенизация в ряде случаев может давать менее точные результаты, чем аппроксимационная гомогенизация, так как не учитывает влияние многих случайных факторов (неоднородность материалов кладочных единиц и раствора, изменчивость толщины растворных швов и другие неизбежные погрешности производства строительных работ), которые существенно влияют на прочность кладки. Между тем, аппроксимационная гомогенизация, использующая прямые опытные данные о прочности кладки, учитывает многообразные особенности работы каменных конструкций под нагрузкой (включая неизбежные производственные дефекты), хотя не позволяет выявить влияние каждого из них в отдельности.

Ограничениями для применения макро-микро гомогенизации являются регулярность кладки и выполнение её из сплошных (без пустот) кладочных элементов.

Аппроксимационная гомогенизация

Поверхность разрушения Поверхность разрушения кладки при действии внешних нагрузок в плоскости стен может быть задана в двух вариантах: в терминах касательных (τ) и нормальных (σn, σp) напряжений, действующих нормально и параллельно постели кладки, соответственно, или в терминах главных напряжений (σ1, σ2) и угла наклона (θ) максимального главного напряжения к постели кладки. Форма поверхности разрушения выбирается предварительно. Первый из указанных вариантов наиболее удобен для определения критериев разрушения, а второй вариант — для описания результатов испытаний. Переход от одного варианта к другому осуществляется с использованием формул сопротивления материалов, которые определяют взаимосвязь главных напряжений и нормальных и касательных напряжений, действующих на произвольной наклонной площадке изотропного тела.

Поверхность разрушения, заданная в терминах напряжений (τ, σn, σp), строится в ортогональной системе координат. Нормальные напряжения σn, σp откладывают вдоль осей x и y , а касательные напряжения τ — вдоль вертикальной оси z. Растягивающие нормальные напряжения, как это принято в теории упругости, считаются положительными. Поверхность разрушения симметрична относительно плоскости z=0. Поэтому обычно рассматривают только верхнюю половину поверхности разрушения. Сечение поверхности разрушения плоскостью симметрии называют основанием поверхности разрушения.

Как правило, принимают, что поверхность разрушения состоит из нескольких частей, которые могут иметь разную геометрическую форму. Форма частей поверхности разрушения выбирается из условия удобства аппроксимации имеющихся экспериментальных данных, которые являются опорными точками для построения поверхности. Кроме того, могут учитываться имеющиеся эмпирические зависимости, устанавливающие критерии разрушения для частных случаев напряженного состояния кладки.

Опорные точки для построения поверхности разрушения Как минимум, для построения поверхности разрушения используют шесть опорных точек, которые характеризуют прочность кладки при одноосном сжатии нормально f'cn и параллельно f'cp постели, одноосном растяжении нормально постели ftn, одноосном растяжении параллельно постели при разрушении только по швам ftpj и при разрушении одновременно по вертикальным швам и кладочным элементам ftpb, а также сопротивление срезу интерфейса кладочных элементов и растворных швов fv0.

Так как сопротивление кладки двухосному сжатию больше сопротивления односному сжатию, то для учёта всей области изменения нормальных напряжений в швах кладки необходимо в качестве опорных точек также использовать значение сопротивления кладки одинаковому двухосному сжатию (f"c) и значения максимальных сопротивлений при неодинаковом сжатии (f"cn и f"cp). Сопротивление f"cn соответствует случаю, когда нормальные напряжения в горизонтальных швах больше напряжений в вертикальных швах, а сопротивление f"cp — случаю, когда, наоборот, нормальные напряжения в вертикальных швах больше напряжений в горизонтальных швах.

Кроме перечисленных характеристик прочности, для построения поверхности разрушения необходимо использовать значение угла внутреннего трения φ между кладочными элементами и растворными швами кладки.

Упрощённые критерии разрушения Критерии разрушения, рассматриваемые в данном разделе, используются для упрощённого расчёта стен на нагрузки, действующие в плоскости стены, а также для построения поверхности разрушения, отдельные участки которой соответствуют разным формам разрушения. Некоторые из этих критериев положены в основу норм проектирования и расчёта каменных конструкций.

Простейшая зависимость между предельными касательными напряжениями τ и нормальными напряжениями σn, определяемая по формуле:

где μ = tgφ, c — касательное сцепление кладочного элемента с растворным швом.

Эта зависимость соответствует закону трения Кулона, который в 1773 г. установил, что сопротивление сыпучих грунтов сдвигу есть сопротивление внутреннего трения, пропорциональное нормальному давлению. Этот закон был затем распространён на связные грунты, для которых сопротивление срезу при не очень больших давлениях равно сумме сил внутреннего трения и сцепления (когезии). Цытович Н. А. Механика грунтов. 1963, М., Госстройиздат: 636 с.

Согласно предельной зависимости (1) сопротивление срезу неограниченно возрастает при увеличении сжатия. Между тем для любого твёрдого тела имеется предельная сжимающая нагрузка, при которой сопротивление срезу равно нулю. Макромеханическая модель, учитывающая, что сопротивление срезу постепенно уменьшается после достижения некоторого уровня сжимающей нагрузки, называется «кэп-моделью» (cap-model). Такая модель была предложена впервые применительно к задачам механики грунтов Друкером. Drucker D.C., Gibson R.E., and Henkel D.J. Soil mechanics and work hardening theories plasticity. Proceeding ASCE, 1957; 122: 338-46. «Кэп-модель» Друкера была в дальнейшем успешно использована для макромеханического моделирования каменной кладки. Lourenço P.B. Analysis of masonry structures with interface elements. Theory and applications, 1995. Delft University of Technology, Delft University Press, The Netherlands. Lourenço P. B. and Rots J. G. Multisurface interface model for analysis of masonry structures. ASCE J Engng Mech, 1997; 123(7): 660-68.

Закон Кулона в координатах τ-σ графически описывает прямая линия, наклонённая к оси σ под углом внутреннего трения φ и пересекающая ось τ в точке с ординатой с. Закон Кулона, определяемый по формуле (1), можно выразить через максимальное σ1 и минимальное σ3 главные напряжения. Для этого на этом графике предельной зависимости τ-σ необходимо построить круг Мора, для которого наклонная прямая является касательной. Из геометрических соображений вместо уравнения (1) получим следующее уравнение, называемое критерием прочности Мора-Кулона:

Применительно к каменной кладке условие (1) подтверждено многочисленными испытаниями образцов на сдвиг с обжатием нормально растворным швам. При испытании образцов, состоящих из двух (образцы «дуплекс») или трёх (образцы «триплекс») кладочных элементов, сжимающая нагрузка, как правило, не превышала половины предельного сопротивления образцов сжатию. Испытания на одноосное сжатие фрагментов кладки (панелей), в которых растворные швы расположены под углом к направлению сжимающей нагрузки, показали, что линейная зависимость сохраняется лишь до определённого предела. Когда сжимающая нагрузка приближается к предельному сопротивлению сжатию, предельное сопротивление срезу стремится к нулю Hamid A. A, Drysdale R. G. Proposed failure criteria for concrete block masonry under biaxial stresses. J. Struct. Div. Proc. ASCE, 1981; 107 (ST8): p.1675-87..

Предельная зависимость, учитывающая снижение предельного сопротивления кладки срезу при действии большой сжимающей нагрузки, была предложена в статье W. Mann and H. Műller (1973)Mann W., Műller H. Bruchkriterien fűr querkraftbeanspruchtes Mauerwerk und ihre Anwendung auf gemauerte Windschscheiben.Die Bautechnik, 1973; 50: p.421-425. для расчёта прочности каменных стен-диафрагм. При выводе условий прочности авторы приняли, что касательные напряжения не возникают в торцах кладочных элементов, а равновесие кладочного элемента обеспечивается за счёт ступенчатого изменения нормальных сжимающих напряжений в постельных швах над и под элементом. Пластическое перераспределение напряжений в постельных швах кладки при совместном действии в них нормальных и касательных напряжений не учитывалось. Принятые допущения занижают действительное сопротивление кладки.

Mann-Műller выделяют три формы разрушения, которым соответствуют следующие критерии: при разрушении горизонтального шва от среза

где hm — высота кладочного элемента, bm — глубина перевязки кладки;