Зако́н сте́пени трёх вторы́х (закон Чайлда, закон Чайлда — Ленгмюра, закон Чайлда — Ленгмюра — Богуславского, в немецком языке Schottky-Gleichung, уравнение Шоттки) в электровакуумной технике задаёт квазистатическую (то есть почти стабильную) вольт-амперную характеристику идеального вакуумного диода — то есть задаёт зависимость тока анода от напряжения между его катодом и анодом — в режиме пространственного заряда. Этот режим является основным для приёмно-усилительных радиоламп. Во время него тормозящее действие пространственного заряда ограничивает ток катода до величины, существенно меньшей, чем предельно возможный ток эмиссии катода. В наиболее общей форме закон утверждает, что ток вакуумного диода Ia пропорционален напряжению Ua, возведённому в степень 3/2:
где g — постоянная () данного диода, зависящая только от взаимного расположения, формы, размеров его электродов.
Первую формулировку закона предложил в 1911 году , впоследствии закон был уточнён и обобщён работавшими независимо друг от друга Ленгмюром (1913), Шоттки (1915) и Богуславским (1923). Закон, c некоторыми оговорками, применяется и к лампам с управляющей сеткой (триоды, тетроды) и к электронно-лучевым приборам. Закон примени́м для средних напряжений — от нескольких вольт до напряжений, при которых начинается переход в режим насыщения тока эмиссии. Закон не применим к области отрицательных и малых положительных напряжений, к области перехода в режим насыщения и к самому режиму насыщения.
Суть проблемы
При достаточно высоких температурах на границе металла и вакуума возникает явление термоэлектронной эмиссии. Вольфрамовый катод начинает испускать электроны при температуре около 1400° С, оксидный катод — при температуре около 350° С. С дальнейшим ростом температуры ток эмиссии экспоненциально возрастает по закону Ричардсона — Дешмана. Максимальная практически достижимая плотность тока эмиссии вольфрамовых катодов достигает 15 А/см2, оксидных катодов — 100 А/см2.
При подаче на анод диода положительного (относительно катода) потенциала в межэлектродном пространстве диода возникает ускоряющее электроны в направлении к аноду электрическое поле. Можно предположить, что в этом поле все испущенные катодом электроны устремятся к аноду так, что ток анода будет равен току эмиссии, однако опыт это предположение опровергает. Оно справедливо только для относительно низких температур и малых плотностей тока эмиссии. При бо́льших температурах катода экспериментально наблюдаемый ток анода достигает насыщения и стабилизируется на постоянном уровне, не зависящем от температуры. С ростом анодного напряжения этот предельный ток монотонно и нелинейно возрастает. Наблюдаемое явление качественно объясняется влиянием пространственного заряда:
Холодный катод вакуумной лампы не способен испускать электроны. В этом режиме вакуумный диод представляет собой обычный вакуумный конденсатор. Напряжённость электрического поля внутри такого конденсатора практически постоянна, а электрический потенциал между катодом и анодом в плоско-параллельной конфигурации изменяется по линейному закону. Одиночный электрон, попавший в такое поле, движется с постоянным ускорением, которое прямо пропорционально ускоряющему полю и, следовательно, напряжению на диоде. Нагретый катод начинает испускать электроны. При подаче на анод достаточно большого положительного напряжения все испущенные электроны испытывают ускорение в межэлектродном пространстве и движутся к аноду. Электроны, находящиеся в межэлектродном пространстве, образуют пространственный заряд, искажающий электрическое поле в конденсаторе. При малых токах эмиссии и малой концентрации электронов в межэлектродном вакууме влияние пространственного заряда незначительно: потенциал всех точек межэлектродного пространства снижается, но поле во всех точках остаётся ускоряющим, поэтому почти все испущенные катодом электроны достигают анода. Ток анода равен току эмиссии катода и не зависит от анодного напряжения. При дальнейшем разогреве катода пространственный заряд увеличивается настолько, что вблизи катода возникает потенциальная яма — область с потенциалом ниже, чем потенциал катода. Электроны, испущенные катодом испытывают отталкивание от области пространственного заряда и попадают в тормозящее поле. Электроны, покинувшие катод с достаточно большой скоростью (быстрые электроны), преодолевают потенциальную яму и продолжают путь к аноду. Другие, медленные, электроны возвращаются назад, на катод, поэтому ток анода оказывается существенно ниже тока эмиссии катода. Практические измерения показывают, что с ростом анодного напряжения ток анода монотонно и нелинейно возрастает.
Количественная зависимость тока, ограниченного пространственным зарядом, от анодного напряжения и описывается законом трёх вторых.
Решение
Решение для плоскопараллельного диода Классическое решение Чайлда рассматривает идеальный плоскопараллельный диод с электродами бесконечной протяжённости, разделёнными зазором с шириной d. Координатная ось x, относительно которой решаются дифференциальные уравнения, проводится по нормали к поверхности катода, а начальная точка (x=0) устанавливается на границе катод-вакуум. Предполагается, что: поверхности катода и анода эквипотенциальны; температура катода достаточно высока для того, чтобы ток анода был ограничен пространственным зарядом, а не уровнем эмиссии катода; остаточное давление газа в межэлектродном пространстве достаточно низко, поэтому взаимодействием электронов с молекулами газа можно пренебречь; напряжённость электрического поля E(0) на границе катод-вакуум равна нулю; скорость электронов при пересечении границы катод-вакуум v(0) равна нулю.
Последнее допущение — отказ от рассмотрения тепловой диффузии электронов в вакууме — наиболее важно. Именно оно позволяет заменить громоздкий, трудоёмкий расчёт простым аналитическим решением, но оно же делает это решение неприменимым в области малых положительных и отрицательных анодных напряжений, так, при нулевом напряжении на диоде в реальных приборах, ток анода не обращается в 0.
В соответствии с теоремой Гаусса, пространственный заряд, заключённый в произвольно выбранном объёме межэлектродного пространства, пропорционален потоку вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность Z, ограничивающую этот объём. В объёме, ограниченном примыкающей к катоду призмой высотой x и площадью основания s, поток напряжённости через боковые поверхности равен нулю. Поток напряжённости через основание, примыкающее к катоду, также равен нулю в силу первого граничного условия. Поэтому поток вектора через поверхность призмы равен произведению напряжённости поля в точке x на площадь основания призмы:
Одновременно, пространственный заряд в объёме призмы равен произведению тока анода Ia на время пролёта электрона от катода до плоскости, удалённой от катода на x:
поэтому напряжённость поля и ускорение электронов в любой точке x можно выразить через ток анода и время пролёта от катода до x:
,
где e и m — заряд и масса электрона, ε0 — диэлектрическая постоянная.
Интегрирование последнего соотношения даёт зависимости координаты и скорости электрона от времени пролёта:
Сопоставив последнее уравнение с уравнением, связывающим кинетическую и потенциальную энергию
можно вывести выражение для тока анода (формулу Чайлда)Калашников С. Г., Электричество, М., ГИТТЛ, 1956, «Добавления», 6. «Закон Богуславского - Ленгмюра», с. 650-651;.:
Решение для цилиндрического диода Последнее уравнение выполняется и для цилиндрического диода (с катодом внутри и анодом снаружи) с тонким катодом (внутренний радиус анода ra в десять и более раз превосходит внешний радиус катода rк). В этом случае вместо межэлектродного расстояния d следует подставлять внутренний радиус анода ra.
Если внешний радиус катода не столь мал, то пренебрегать им уже нельзя. Для диодов с толстым катодом расчётная формула по Ленгмюру и Богуславскому принимает вид:
где поправочный коэффициент
Обобщённая формулировка Закон справедлив для диодов с любой конфигурацией катода и анода и для любых температур катода, при которых возможна термоэлектронная эмиссия. В общем случае,
где g — постоянная (так называемый первеанс) данного диода, зависящая от конфигурации и геометрических размеров его электродов.
В простейшем анализе первеанс не зависит от тока накала и температуры катода, в реальных лампах он растёт с ростом температуры катода.
Внутреннее сопротивление диода Крутизна S вольт-амперной характеристики диода в произвольно выбранной рабочей точке пропорциональна квадратному корню анодного напряжения:
а внутреннее сопротивление ri обратно пропорционально ему:
Частотные ограничения Время пролёта электронов от катода до анода определяется соотношением
где конечная скорость электронов .
В реальных диодах время пролёта измеряется единицами наносекунд.
При подаче на анод переменного напряжения высокой частоты, период которого сопоставим с временем пролёта, фаза и величина анодного тока существенно меняются. Сдвиг фазы тока, или угол пролёта, составляет , где — угловая частота анодного напряжения. При угле пролёта крутизна динамической ВАХ диода падает на 25 % от квазистатической крутизны, при переменный ток прерывается. На практике предельный угол пролёта, выше которого использование диода нецелесообразно, приравнивается к , а граничная рабочая частота диода fпр — к
В реальных схемах предельная рабочая частота может быть ещё ниже из-за влияния паразитной ёмкости диода и паразитных ёмкостей и индуктивностей монтажа. С ростом частоты в диоде могут возникать резонансные явления, поэтому рабочая частота диода fр не должна превышать частоты его собственного резонанса f0:
При типичной индуктивности монтажа L в 0,01 мкГн и типичной ёмкости монтажа в 10 пФ резонансная частота составляет 500 МГц.
Закон трёх вторых для триода В 1919 году М. А. Бонч-Бруевич предложил модель триода (в работах Бонч-Бруевича — «катодного реле»), в которой триод замещался эквивалентным диодом. Анодный ток в этой модели равнялся току эквивалентного диода, к которому приложено расчётное действующее напряжение — взвешенная сумма напряжений на аноде Ua и на сетке Uc:
, или
,
где — коэффициент усиления триода по напряжению, а обратная ему D — проницаемость сетки.
Из формул следует, что вольт-амперные характеристики для различных Uc идентичны и отличаются только сдвигом вдоль оси напряжения. При запирающем сеточном напряжении анодный ток прерывается. Характеристики реальных ламп в целом соответствуют теории, но их наклон и сдвиг непостоянны, а отсечка тока при запирающих напряжениях имеет плавный, «затянутый» характер.
Количественные оценки Пример. Низковольтный одноанодный кенотрон имеет эффективную длину анода l=40 мм, внешний радиус катода rк=2 мм, внутренний радиус анода rа=4 мм. Эффективная площадь оксидного катода sк=5 см2, эффективная площадь анода sа=10 см2. Расчётная межэлектродная ёмкость при холодном катоде С0=2π ε0 l ln(rа/rк)=1,5 пФ без учёта ёмкости монтажа. Рабочее напряжение накала выбрано так, чтобы диод входил в режим насыщения при токе Ia=200 мА, что соответствует плотности тока эмиссии 40 мА/см2. Это значение близко к предельно допустимому значению для стационарного режима и примерно в тысячу раз меньше максимально возможной плотности кратковременных импульсов тока эмиссии оксидного катода. Оно достигается при мощности накала от 10 до 15 Вт (удельная мощность от 2 до 3 Вт/см2).
Расчётный первеанс диода равен:
Закон степени трёх вторых и заложенная в него модель не дают указаний на то, насколько плавным или острым должен быть переход из режима пространственного заряда в режим насыщения. Теоретическая кривая анодного тока достигает значения тока эмиссии (Ia=200 мА) при Ua=49 В, при бо́льших напряжениях ток не меняется, а рассеиваемая мощность растёт пропорционально напряжению.