В математике числами Каллена называют натуральные числа вида (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены ирландским математиком в 1905 году. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.
Свойства В 1976 году показал, что плотность последовательности положительных целых , для которых Cn простое, есть o(x) для . В этом смысле почти все числа Каллена составные. В 1995 году доказательство Кристофера Хулея было переработано математиком Хирми Суяма, который показал, что оно также верно для любой последовательности чисел где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала .
Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному: 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 . Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.
По состоянию на 2025 год наибольшее известное простое число Каллена , это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто участником проекта PrimeGrid из Японии 5 августа 2009 года.
Числа Каллена Cn делятся на , если p простое число вида . Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит Cm(k) для каждого (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит , когда символ Якоби есть −1, и что p делит , когда символ Якоби есть +1.
Неизвестно, существует ли простое число p, у которого Cp тоже простое.
Обобщения Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида , где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.
По состоянию на 2025 год наибольшие известное обобщённое простое число Каллена имеет 7 451 366 знаков, число было открыто участником проекта добровольных распределенных вычислений PrimeGrid Марком Уильямсом из США 16 апреля 2025 года.
Ссылки
Дальнейшее чтение . . . .
Ссылки Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages. The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
Cullen prime: definition and status (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers
К Категория:Математические гипотезы Категория:Нерешённые проблемы
__NOTOC__